1. Potenzen - Einführung/Wiederholung

In der Mathematik kommt es öfter vor, dass eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll. Beispielsweise wird die Fläche \(A\) eines Quadrats berechnet, indem man die Seitenlänge \(a\) mit sich selbst multipliziert:

 

 

\(A = a \cdot a\)

 

Das Produkt der Seite \(a\) mit sich selbst schreibt man dabei meist als \(a^2\), gesprochen "a hoch zwei" oder "a Quadrat".

 

Will man das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(a\) berechnen, muss man \(a\) sogar dreimal mit sich selbst multiplizieren: \(V = a \cdot a\cdot a\). Dies schreibt man kürzer als \(V = a^3\), gesprochen als "a hoch drei".

 

 

Auch vier- oder mehrmaliges Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst kommt in der Mathematik öfter vor. Um dabei den Überblick zu bewahren und eine kurze, übersichtliche Schreibweise zu haben, hat man die Potenzen ganz allgemein eingeführt. Eine Potenz sieht immer so aus wie die beiden bisherigen Beispiele, also z.B. wie

\[ a^3 \]

Eine Zahl hoch eins bedeutet immer die Zahl selbst (in der Regel wird ein Exponent von 1 daher einfach weggelassen, weil er nichts ändert). Die ersten Potenzen einer Zahl \(a\) bedeuten also ausgeschrieben:

Nach dieser Definition existieren zu einer beliebigen Zahl alle Potenzen mit den Exponenten \(1,2,3,\ldots\). Der Exponent darf also jede natürliche Zahl sein. Später werden wir sehen, dass auch Potenzen mit anderen Exponenten sinnvoll sind.