Theorie:
Man verwendet in der Mathematik normalerweise nicht alle Logarithmen (außer zum Lernen am Anfang). Das liegt daran, dass ein Logarithmus zu einer bestimmten Basis reicht, um Logarithmen zu einer beliebigen anderen Basis zu berechnen.
Nehmen wir z.B. an, wir haben eine Methode, Logarithmen zur Basis \(10\) zu berechnen — das heißt, wir wissen zu jeder Zahl \(z\) das Ergebnis von \(\log_{10} z\). Nun benötigen wir aber den Logarithmus zu einer anderen Basis \(b\). Wir suchen also die Lösung der Gleichung
\[ b^x = z \,, \quad \text{mit} \quad x = \log_b z. \]
Wir lassen nun den Logarithmus zur Basis 10 auf beide Seiten der linken Gleichung wirken und erhalten nach den Rechenregeln für Logarithmen
\[ \log_{10}z = \log_{10}b^x = x \log_{10}b \,. \]
Dividieren wir dir rechte und die linke Seite durch \(\log_{10}b\), ergibt sich
\[ \frac{\log_{10}z}{\log_{10}b} = x \,, \]
wobei \( x = \log_b z\) ja unser gesuchter Logarithmus zur Basis \(b\) ist. Also gilt, dass
\[ \log_b z = \frac{\log_{10}z}{\log_{10}b} \,.\]
Wenn wir also unseren Logarithmus von \(z\) zu einer beliebigen Basis \(b\) suchen, können wir z.B. den Quotienten aus den Logarithmen zur Basis 10 von \(z\) und \(b\) zur Berechnung verwenden.
Diese Rechnung können wir aber statt mit der Basis 10 auch mit jedem anderen Logarithmus durchführen. Wir können uns also für den Logarithmus entscheiden, der für uns am angenehmsten ist. Möchten wir Logarithmen zur Basis \(b\) durch Logarithmen zu einer uns leicht zugänglichen Basis \(a\) ausdrücken, dann gilt die allgemeine Regel:
| \[ \log_b z = \frac{\log_a z}{\log_a b}\] |