Theorie:
Wir haben gesehen, dass man Logarithmen verschiedener Basen ineinander umrechnen kann:
\[ \log_b z = \frac{\log_a z}{\log_a b}\]
Daher werden bei mathematischen Rechnungen üblicherweise nur wenige Logarithmen verwendet. Die wichtigsten Logarithmen werden im Folgenden kurz vorgestellt:
Zehnerlogarithmus
Der Logarithmus zur Basis 10 heißt auch Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus. Der Zehnerlogarithmus wird mit dem Zeichen \(\lg\) abgekürzt:
\[ \lg z = \log_{10} z \]
Da wir unsere Zahlen im Dezimalsystem darstellen, ist er für uns Menschen besonders praktisch. So haben alle Potenzen von 10 einen ganzzahligen Logarithmus, z.B.
\(\vdots\) |
\(\lg 0,001 = -3\) |
\(\lg 0,01 = -2\) |
\(\lg 0,1 = -1\) |
\(\lg 1 = 0\) |
\(\lg 10 = 1\) |
\(\lg 100 = 2\) |
\(\lg 1000 = 3\) |
\(\vdots\) |
Aus ihrem Zehnerlogarithmus kann man daher sofort die Größenordnung einer Zahl herauslesen:
- Liegt der Logarithmus zwischen 0 und 1, so liegt die Zahl zwischen 1 und 10, ist also einstellig.
- Liegt der Logarithmus zwischen 1 und 2, so liegt die Zahl zwischen 10 und 100, ist also zweistellig.
- Liegt der Logarithmus zwischen 2 und 3, so liegt die Zahl zwischen 100 und 1000, ist also dreistellig, usw.
Außerdem unterscheiden sich das Zehn- oder Hundertfache etc. einer Zahl beim Logarithmus nur um die Stellen vor dem Komma, nicht um die Nachkommastellen. So ist z.B.
- \(\lg 20 = \lg (2 \cdot 10) = \lg 2 + \lg 10 = \lg 2 + 1\),
- \(\lg 200 = \lg (2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2\),
- \(\lg 0,2 = \lg (2 \cdot 0,1) = \lg 2 + \lg 0,1 = \lg 2 - 1\) usw.
Es reicht also, den Bereich der Zahlen von 1 bis 10 fein zu unterteilen und die Logarithmen dieser Zahlen in den Nachkommastellen genau zu berechnen. Möchte man das Komma dann verschieben, ändert sich der Logarithmus bei jeder Verschiebung nach rechts um \(+1\), bei jeder Verschiebung nach links dagegen um \(-1\).
Das war früher das Prinzip der Logarithmentafeln und Rechenschieber, die das Rechnen erleichterten. Heute dagegen, im Zeitalter der Taschenrechner und Computer, spielen Zehnerlogarithmen keine so große Rolle mehr.
Natürlicher Logarithmus
Wenn man die mathematischen Eigenschaften von Logarithmen und Potenzen untersucht, stellt man fest, dass der Logarithmus zu einer ganz bestimmten Basis bzw. Potenzen dieser Basis eine ganz besondere Rolle spielen. Ob es z.B. um Differenzieren oder um komplexe Zahlen geht (das sind Themen, die erst in höheren Klassen eine Rolle spielen), immer wieder taucht diese besondere Zahl als Basis auf.
Diese Zahl wird Eulersche Zahl genannt (nach dem berühmten Schweizer Mathematiker Leonhard Euler) und mit dem Buchstaben \(e\) abgekürzt. Genau wie die Kreiszahl \(\pi\) ist sie eine irrationale Zahl; die ersten Stellen lauten:
\[ e = 2,7182818284\ldots \]
Der Logarithmus zur Zahl \(e\) wird als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit dem Symbol \(\ln\) abgekürzt, also
\[ \ln z = \log_e z \,.\]
Der natürliche Logarithmus ist mit Abstand der wichtigste Logarithmus, da er in vielen mathematischen und wissenschaftlichen Formeln vorkommt.
Logarithmen am Taschenrechner
Viele Taschenrechner bieten noch nicht die Möglichkeit an, Logarithmen zu jeder beliebigen Basis zu berechnen. Mit der Formel ganz oben auf dieser Seite kann aber der Logarithmus zu jeder Basis z.B. als Zehner- oder als natürlicher Logarithmus dargestellt werden:
\[ \log_b z = \frac{\ln z}{\ln b} = \frac{\lg z}{\lg b} \,.\]
Die meisten Taschenrechner haben Funktionstasten für den \(\ln\) (dieser ist dort genau so abgekürzt) und für den \(\lg\) (der ist auf Taschenrechnern oft mit "log" abgekürzt). Über die oben angegebenen Formeln kann man dann Logarithmen zu beliebigen Basen berechnen.
Am besten verwendet man beim Rechnen und beim Umwandeln von Formeln hauptsächlich den \(\ln\); damit geht z.B. das Umwandeln von Gleichungen bei Wachstumsmodellen am einfachsten. Er ist auch auf jedem modernen wissenschaftlichen Taschenrechner verfügbar.
Zweierlogarithmus
Computer rechnen im Binärsystem (einem Zahlensystem zur Basis 2). Für die theoretische Informatik sind deshalb Logarithmen zur Basis 2 von Bedeutung; sie werden als Zweierlogarithmen oder als binäre Logarithmen bezeichnet und mit \(\rm lb\) abgekürzt:
\[ {\rm lb}\, z = \log_2 z \,.\]
In der Schulmathematik spielen sie aber keine besondere Rolle.