Theorie:
Einige Rechenregeln für Logarithmen ergeben sich direkt aus der Definition. So ist der \(x=\log_b z\) ja diejenige Zahl, mit der wir \(b\) potenzieren müssen, um \(z\) zu erhalten (also die Lösung von \(b^x=z\)).
Da z.B. \(b^1=b\) ist, muss der Logarithmus der Basis selbst gleich eins sein, also ist
\[ \log_b b = 1 \,,\]
unabhängig von der Basis.
Ebenso ist \(b^0 = 1\), egal für welche Basis \(b\). Daher ist der Logarithmus der Zahl 1 zu jeder (erlaubten) Basis gleich null:
\[ \log_b 1 = 0 \,.\]
Haben wir eine andere "glatte" Potenz \(b^n\) der Basis als Argument, dann muss der Logarithmus gleich dem Exponenten \(n\) sein — denn das \(x\), das die Gleichung \(b^x = b^n\) erfüllt, muss gleich \(n\) sein. Es gilt also
\[ \log_b b^n = n \,.\]
Wir haben dies bereits in der Einführung benutzt, als wir \(\log_2 8 = 3 \) bestimmt haben, indem wir 8 wegen \(8=2^3\) als 3. Potenz von 2 erkannt haben. Damit haben wir \(\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \) als Spezialfall der oben stehenden Gleichung verwendet.
Ebenso gilt wegen \(64 = 8^2\) z.B. auch \(\log_8 64 = \log_8 8^2 = 2 \).
Bei negativen Exponenten können wir ebenfalls z.B. wegen \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1} \) auf \(\log_2 \frac{1}{2} = -1 \) schließen.
Wenn wir die Basis mit einem Logarithmus zu ebendieser Basis potenzieren, muss das Argument herauskommen, also
\[ b^{\log_b z} = z \,,\]
denn \(\log_b z\) ist ja gerade als die Zahl definiert, mit der man \(b\) potenzieren muss, damit wieder \(z\) herauskommt.
In anderen Fällen helfen die Rechenregeln für Logarithmen, die sich aus jenen für Potenzen herleiten lassen:
- Aus dem 1. Potenzgesetz erhalten wir für die Summe zweier Logarithmen zur selben Basis:
\[ b^{\log_b y + \log_b z} = b^{\log_b y}\cdot b^{\log_b z} = yz \]
Hier sehen wir, dass \(\log_b y + \log_b z\) gerade die Zahl ist, mit der man \(b\) potenzieren muss, um das Produkt \(yz\) zu erhalten. Nach der Definition ist das aber auch der Logarithmus von \(yz\) zur Basis \(b\). Also zerfällt der Logarithmus eines Produkts in die Summe:\( \log_b \left(yz\right) = \log_b y + \log_b z \,.\) - Aus dem 2. Potenzgesetz ergibt sich ein ähnliches Ergebnis für die Differenz zweier Logarithmen zur selben Basis:
\[ b^{\log_b y - \log_b z} = \frac{b^{\log_b y}}{b^{\log_b z}} = \frac{y}{z} \]
\(\log_b y - \log_b z\) ist also genau die Zahl, mit der man \(b\) potenzieren muss, um den Quotienten \(\frac{y}{z}\) zu erhalten, also der Logarithmus von \(\frac{y}{z}\) zur Basis \(b\). Der Logarithmus macht aus einem Quotienten also eine Differenz:\( \log_b \left(\frac{y}{z}\right) = \log_b y - \log_b z \,.\)
- Schließlich liefert uns das 3. Potenzgesetz noch ein Ergebnis für ein Vielfaches eines Logarithmus:
\[ b^{k \log_b z} =b^{(\log_b z)\cdot k} = \left( b^{log_b z}\right)^k = z^k \]
\(k \log_b z\) ist also genau die Zahl, mit der man \(b\) potenzieren muss, um die Potenz \(z^k\) zu erhalten, oder der Logarithmus von \(z^k\) zur Basis \(b\). Also können wir einen Exponenten immer vor den Logarithmus ziehen:\( \log_b z^k = k \log_b z \,.\)