Theorie:
1. Parallele Geraden im Raum
Zwei Geraden im Raum werden parallel genannt, wenn sie in einer Ebene liegen und einander nicht schneiden.
Die Parallelität zweier Geraden \(a\) und \(b\) wird folgendermaßen bezeichnet: .
Durch zwei parallele Geraden kann eine einzige Ebene gelegt werden.
Beweis:
1. Da die Geraden \(a\) und \(b\) parallel sind, folgt aus der Definition, dass durch diese Geraden die Ebene gelegt werden kann.
2. Um zu beweisen, dass diese Ebene eine einzige Ebene ist, markiert man auf der Geraden \(a\) zwei Punkte \(B\) und \(C\), und auf der Geraden \(b\) einen Punkt \(A\).
3. Da durch die drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, eine einzige Ebene gelegt werden kann (Axiom 2), ist die einzige Ebene, zu der die Geraden \(a\) und \(b\) gehören.
Durch einen beliebigen Punkt im Raum, der außerhalb der gegebenen Geraden liegt, kann eine einzige Gerade gezogen werden, die der gegebenen Geraden parallel verläuft.
Beweis:
1. Durch die gegebene Gerade \(a\) und den nicht auf diesen Geraden liegenden Punkt \(M\) wird eine Ebene gelegt.
2. Diese Ebene ist die einzige solche Ebene (weil durch eine Gerade und durch einen nicht darauf liegenden Punkt eine einzige Ebene gelegt werden kann).
3. In der Ebene kann man durch den Punkt \(M\) nur eine zu der Geraden \(a\) parallele Gerade \(b\) ziehen.
Schneidet eine von zwei parallelen Geraden eine gegebene Ebene, schneidet auch die zweite Gerade diese Ebene.
(Zeichnung 1)
(Zeichnung 2)
Beweis:
Betrachten wir zwei parallele Geraden \(a\) und \(b\). Man nimmt an, dass die Gerade \(b\) die Ebene im Punkt \(M\) schneidet (Zeichnung 1).
Aus dem ersten Satz ist bekannt, dass durch die parallelen Geraden \(a\) und \(b\) eine einzige Ebene gelegt werden kann.
Da der Punkt \(M\) auf der Geraden \(b\) liegt, gehört \(M\) auch zu der Ebene (Zeichnung 2). Haben die Ebenen und einen gemeinsamen Punkt \(M\), haben diese Ebenen eine gemeinsame Gerade \(c\), die die Schnittgerade dieser Ebenen ist (Axiom 4).
Die Geraden \(a\), \(b\) und \(c\) liegen in der Ebene .
Schneidet in dieser Ebene eine der parallelen Geraden \(b\) die Gerade \(c\), schneidet auch die zweite der parallelen Geraden \(a\) die Gerade \(c\).
Man bezeichnet den Schnittpunkt der Geraden \(a\) und \(c\) mit \(K\).
Da der Punkt \(K\) auf der Geraden \(c\) liegt, liegt \(K\) in der Ebene und ist der einzige gemeinsame Punkt der Geraden \(a\) mit der Ebene .
Das bedeutet, dass die Gerade \(a\) die Ebene im Punkt \(K\) schneidet.
Zwei Geraden, die zu einer dritten Geraden parallel sind, sind auch zueinander parallel.
Gegeben:
Zu Beweisen:
Beweis:
Man wählt den Punkt \(M\) auf der Geraden \(b\) aus.
Durch den Punkt \(M\) und die Gerade \(a\), auf der dieser Punkt nicht liegt, kann eine einzige Ebene gelegt werden (durch eine Gerade und einen nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt kann eine einzige Ebene gelegt werden).
Zwei Fälle sind möglich:
1) die Gerade \(b\) schneidet die Ebene , oder 2) die Gerade \(b\) liegt in der Ebene .
Man nimmt an, dass die Gerade \(b\) die Ebene schneidet.
Das bedeutet, dass die Gerade \(c\), die zu der Geraden \(b\) parallel ist, auch die Ebene schneidet. Da , bekommt man, dass \(a\) auch diese Ebene schneidet. Die Gerade \(a\) kann aber nicht gleichzeitig die Ebene schneiden und in der Ebene liegen. Diese Tatsachen widersprechen einander. Folglich ist die Voraussetzung, dass die Gerade \(b\) die Ebene schneidet, falsch.
Das bedeutet, dass die Gerade \(b\) in der Ebene liegt.
Jetzt muss man beweisen, dass die Geraden \(a\) und \(b\) parallel sind.
Man nimmt an, dass die Geraden \(a\) und \(b\) einen gemeinsamen Punkt \(L\) haben.
Das bedeutet, dass durch den Punkt \(L\) zwei Geraden \(a\) und \(b\) gezogen sind. Diese Geraden sind zu der Geraden \(c\) parallel. Gemäß dem zweiten Satz ist das aber nicht möglich. Deshalb ist diese Voraussetzung falsch, und die Geraden \(a\) und \(b\) haben keine gemeinsamen Punkte.
Da die Geraden \(a\) und \(b\) in einer Ebene () liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, sind sie parallel.
2. Parallelität von Gerade und Ebene
Gemäß den Axiomen: liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, liegt die Gerade in dieser Ebene. Daraus folgt, dass drei Fälle der gegenseitigen Lage einer Geraden und einer Ebene im Raum möglich sind:
1) die Gerade liegt in der Ebene;
2) die Gerade und die Ebene haben nur einen gemeinsamen Punkt (die Gerade und die Ebene schneiden einander);
3) die Gerade und die Ebene haben keine gemeinsamen Punkte.
Eine Gerade und eine Ebene werden parallel genannt, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben.
"Kennzeichen der Parallelität von Gerade und Ebene".
Ist eine nicht in der gegebenen Ebene liegende Gerade parallel zu einer beliebigen Geraden in dieser Ebene, verläuft diese Gerade parallel zu dieser Ebene.
Ist eine nicht in der gegebenen Ebene liegende Gerade parallel zu einer beliebigen Geraden in dieser Ebene, verläuft diese Gerade parallel zu dieser Ebene.
Beweis:
Nehmen wir zunächst das Gegenteil an, also, dass \(a\) nicht parallel zu der Ebene ist. Das bedeutet, dass die Gerade \(a\) die Ebene in einem Punkt \(A\) schneidet. Dabei liegt \(A\) nicht auf \(b\), weil . Das würde aber bedeuten, die Geraden \(a\) und \(b\) wären windschief.
Nehmen wir zunächst das Gegenteil an, also, dass \(a\) nicht parallel zu der Ebene ist. Das bedeutet, dass die Gerade \(a\) die Ebene in einem Punkt \(A\) schneidet. Dabei liegt \(A\) nicht auf \(b\), weil . Das würde aber bedeuten, die Geraden \(a\) und \(b\) wären windschief.
Auf diese Weise kommt ein Widerspruch zustande: gemäß der gegebenen Information können sie nicht windschief sein. Das bedeutet, dass die Gerade \(a\) parallel zu der Ebene sein muss.
Verläuft die Ebene durch die gegebene Gerade \(a\), die parallel zu der Ebene verläuft, und schneidet diese Ebene in der Geraden \(b\), sind .
Ist eine der zwei parallelen Geraden parallel zu der gegebenen Ebene , ist die zweite entweder parallel zu dieser Ebene, oder liegt in dieser Ebene.