Theorie:
Wir wissen bereits, dass Geraden in der Ebene einander schneiden (einen gemeinsamen Punkt haben) oder parallel sein (keinen gemeinsamen Punkt haben) können.
Im Raum kann man sich eine andere Situation vorstellen, wenn die Geraden einander nicht schneiden, aber auch nicht parallel sind.
Im Raum kann man sich eine andere Situation vorstellen, wenn die Geraden einander nicht schneiden, aber auch nicht parallel sind.
Beispiele:
Ein Weg läuft entlang der Hochstraße, und der andere unter der Hochstraße hindurch. Sie schneiden einander nicht, sind aber auch nicht parallel.
Tragseile einer Brücke
Die horizontale Linien des Daches und die vertikale Linien der Wände
Die zwei Geraden werden windschief genannt, wenn sie nicht in einer Ebene liegen.
Merkmal der windschiefen Geraden:
Liegt eine der zwei Geraden in einer Ebene, und die andere Gerade schneidet diese Ebene in einem nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt, sind diese Geraden windschief (liegen nicht in einer Ebene).
Betrachten wir die in der Ebene liegende Gerade \(AB\) und die Gerade \(CD\), die diese Ebene im Punkt \(D\) schneidet und nicht auf der Geraden \(AB\) liegt.
- Man nimmt an, dass die Geraden \(AB\) und \(CD\) doch in einer Ebene liegen.
- Das bedeutet, dass diese Ebene durch die Gerade \(AB\) und den Punkt \(D\) läuft, d.h. sie stimmt mit der Ebene α überein.
- Das widerspricht den Bedingungen des Satzes: die Gerade \(CD\) liegt nicht in der Ebene \(α\), sondern schneidet sie.
Der Satz ist bewiesen.
Geraden können auf folgende Weise im Raum liegen:
1. Die Geraden sind parallel
1. Die Geraden sind parallel
2. Die Geraden schneiden einander
3. Die Geraden sind windschief
Durch jede von zwei windschiefen Geraden geht eine einzige Ebene, die parallel zu der anderen Geraden ist.
Betrachten wir die windschiefen Geraden \(AB\) und \(CD\).
1. Durch den Punkt \(D\) kann man eine Gerade \(DE\) ziehen, die parallel zu \(AB\) verläuft.
2. Durch die einander schneidenden Geraden \(CD\) und \(DE\) kann man die Ebene \(α\) legen.
3. Da die Gerade \(АB\) in dieser Ebene nicht liegt und parallel der Geraden \(DE\) ist, verläuft sie parallel zu der Ebene.
2. Durch die einander schneidenden Geraden \(CD\) und \(DE\) kann man die Ebene \(α\) legen.
3. Da die Gerade \(АB\) in dieser Ebene nicht liegt und parallel der Geraden \(DE\) ist, verläuft sie parallel zu der Ebene.
4. Diese Ebene ist die einzige Ebene, so wie jede beliebige Ebene, die durch \(CD\) geht, schneidet \(DE\) und \(AB\), die parallel zu dieser Ebene verläuft.
Der Satz ist bewiesen.
Der Satz ist bewiesen.
Winkel zwischen zwei Geraden
2. Der Schnittwinkel zwischen zwei einander schneidenden Geraden ist der kleinste Schnittwinkel, der zwischen den Geraden gebildet werden kann. Sind alle Winkel gleich groß, stehen diese Geraden senkrecht aufeinander (bilden den Winkel von ).
3. Der Winkel zweier windschiefen Geraden ist der Schnittwinkel zweier einander schneidender Geraden, die entsprechend parallel der gegebenen windschiefen Geraden sind.
Wichtig!
Die zu gegebenen windschiefen Geraden parallelen Geraden können durch jeden beliebigen Punkt gezogen werden. Manchmal ist es bequem einen Punkt auf den windschiefen Geraden auszuwählen und durch diesen Punkt eine zur zweiten windschiefen Geraden parallele Gerade ziehen.
Beispiel:
Gegeben: ein Würfel
Der Winkel zwischen und soll bestimmt werden.
Man wählt den Punkt auf der Geraden aus und zieht die Gerade durch den Punkt parallel zu .
Der Schnittwinkel zwischen und beträgt , weil ein Quadrat ist.
Der Winkel zwischen und beträgt auch .