Theorie:
Wir haben also festgestellt, dass die Masse eines Körpers von seiner Geschwindigkeit abhängt.
Überlegen wir nun, wie sich das bei Stoßprozessen bemerkbar macht.
Betrachten wir zwei Körper mit gleichen Ruhemassen \(m\), die sich mit gleichen Geschwindigkeiten (\(v\) und \(-v\)) aufeinander zu bewegen und nach dem Zusammenstoß aneinander heften bleiben (also einen inelastischen Stoß):
Betrachten wir diese Situation zunächst aus Sicht der klassischen Physik und stellen eine Energiebilanz auf.
Vor dem Stoß besteht die Gesamtenergie aus der kinetischen Energie der beiden Massen
\(E = 2\cdot \frac{m v^2}{2} = m v^2\).
Nach dem Stoß haben wir keine kinetische Energie mehr - die gesamte Energie muss also in Verformungsarbeit umgewandelt worden sein, sie steckt jetzt also in der Wechselwirkung zwischen den Masseteilchen.
Interessant wird diese Situation, wenn wir sie aus einem anderen Inertialsystem betrachten, in dem eine der Massen zu Beginn ruht:
Die Geschwindigkeit der bewegten Masse in diesem System bestimmen wir mit der Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition:
\(u = \frac{v+v}{1+\frac{v\cdot v}{c^2}} = \frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}\)
Der zusammengesetzte Körper hat die Ruhemasse \(2m\) und bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v\). Seine dynamische Masse ist daher
\(M = \frac{2m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\).
Nun benutzen wir einen mathematischen Trick: Für niedrige Werte von \(x\) gilt
\(\frac{1}{\sqrt{1-x}} \approx 1 + \frac{x}{2}\).
In unserem Fall bedeutet das:
\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \approx 1 + \frac{v^2}{2 c^2}\)
und
\(M \approx 2m + \frac{m v^2}{c^2}\)
Erinnern wir uns nun an unseren ersten Schritt: die Verformungsenergie ist
\(E = m v^2\).
Hiermit sehen wir:
\(M \approx 2m + \frac{E}{c^2}\)
oder anders:
Wichtig!
Wird einer Masse \(m\) eine Menge Energie \(\Delta E\) zugeführt, so führt das zu einer Massenzunahme \(\Delta m\) gemäß
\(\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}\).
\(\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}\).
Wenn aber Energie Masse ist, so muss umgekehrt auch Masse Energie sein. Wir können diese Beziehung zwischen Energie und Masse also auch umgekehrt betrachten und kommen so zur wohl berühmtesten Formel der Welt:
Wichtig!
Jeder Masse \(m\) kann eine Energie
\(E = m c^2\)
zugeordnet werden.
\(E = m c^2\)
zugeordnet werden.
Masse und Energie sind also in einem gewissen Sinn gleichwertig: Jede Masse entspricht einer gewissen Energie und umgekehrt. Diese Beziehung nennt man die Energie-Masse-Äquivalenz.
Wichtig!
Anders als in der klassischen Physik ist die Masse in der Relativitätstheorie keine Erhaltungsgröße. Sie bildet vielmehr einen Teil der Gesamtenergie eines Systems, die erhalten ist.