Theorie:
Wie sieht der Koordinatenwechsel zwischen Inertialsystemen nun aus relativistischer Sicht aus?
Nehmen wir erneut der Einfachheit halber an, dass die Bewegung nur in x-Richtung erfolgt und die Koordinatensysteme zu Beginn identisch sind.
Anders als zuvor müssen wir nun jedoch die Zeitdilatation und die Lorentzkontraktion berücksichtigen.
Zur Wiederholung: Die Lorentzkontraktion besagt, dass bewegte Längen in Bewegungsrichtungen um den Faktor
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
kürzer erscheinen. Umgekehrt bedeutet das, dass die Koordinaten der entsprechenden Ereignisse um diesen Faktor größer werden. Allgemein gilt daher:
x' = \gamma(x - v t).
Da die beiden Richtungen quer zur Bewegungsrichtung nicht von der Lorentzkontraktion betroffen sind, bleiben die entsprechenden Koordinaten unverändert:
y' = y,
z' = z.
Die Transformation der Zeit ist etwas komplizierter herzuleiten, weshalb wir uns hier mit dem Resultat begnügen wollen:
t' = \gamma(t - \frac{v}{c^2} x).
Wir fassen also zusammen:
x' = \gamma(x - v t)
y' = y
z' = z
t' = \gamma(t - \frac{v}{c^2} x)
Wir nennen diese Koordinatentransformation die Lorentztransformation. Sie gibt an, wie unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie von den Koordinaten eines Inertialsystems auf jene eines anderen umgerechnet werden kann.