Theorie:
Wir haben uns nun ausführlich damit beschäftigt, wie man von einem Inertialsystem \(S\) auf ein dazu mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegtes System \(S'\) umrechnet - sowohl in der klassischen Physik wie auch in der Relativitätstheorie. Doch wie rechnet man umgekehrt von \(S'\) zu \(S\) um?
Wenn sich \(S'\) zu \(S\) mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, so bewegt sich umgekehrt \(S\) aus Sicht von \(S'\) mit der entgegengesetzten Geschwindigkeit \(-v\). Wir können also ganz einfach wieder von \(S'\) zu \(S\) umrechnen, indem wir in den entsprechenden Transformationen \(v\) durch \(-v\) ersetzen.
Eine andere Möglichkeit (die zum gleichen Resultat führen muss) ist, die Formeln für die gestrichenen Koordinaten (\(x'\), \(y'\), \(z'\) und \(t'\)) so umzuformen, dass die ungestrichenen Koordinaten (\(x\), \(y\), \(z\) und \(t\)) ausgedrückt werden.
Man nennt diese umgekehrten Transformationen auch inverse Transformationen.
Inverse Galileitransformation
Für die Galileitransformation bedeutet das:
Galileitransformation | Inverse Galileitransformation |
| \(x' = x - v t\) | \(x = x' + v t'\) |
| \(y' = y\) | \(y = y'\) |
| \(z' = z\) | \(z = z'\) |
| \(t' = t\) | \(t = t'\) |
Da hier \(t = t'\) ist, ist bei der Formel für \(x\) nicht wichtig, ob \(t\) oder \(t'\) benutzt wird.
Inverse Lorentztransformation
Für die Lorentztransformation ist das Umformen der Gleichungen wesentlich komplizierter als das einfache Ersetzen von \(v\) durch \(-v\), weshalb wir letztere Vorgangsweise wählen.
Lorentztransformation | Inverse Lorentztransformation |
| \(x' = \gamma(x - v t)\) | \(x = \gamma(x' + v t')\) |
| \(y' = y\) | \(y = y'\) |
| \(z' = z\) | \(z = z'\) |
| \(t' = \gamma\left(t - \frac{v}{c^2}x\right)\) | \(t = \gamma\left(t' + \frac{v}{c^2}x'\right)\) |
Hier ist - im Gegensatz zur Galileitransformation - auf den Unterschied zwischen \(t\) und \(t'\) zu achten.
Wichtig ist außerdem, dass im Lorentzfaktor \(\gamma\) die Geschwindigkeit nur quadratisch vorkommt, er ist daher für beide Transformationsrichtungen gleich.