Theorie:
Frei bewegliche Massen werden unter dem Einfluss der Gravitation beschleunigt. Um das genauer zu verstehen, betrachten wir zwei Punktmassen \(M\) und \(m\), die sich in einem Abstand \(r\) zueinander befinden. Auf \(m\) wirkt zum Beispiel die Kraft \(F=GMm/r^2\), und insofern erfährt \(m\) die Beschleunigung \(a=F/m=GM/r^2\).
Die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers unter dem Einfluss einer Masse \(M\) ist unabhängig von der Masse des frei fallenden Körpers, und ist gegeben durch
\(\displaystyle a=\frac{GM}{r^2}\).
Dies bestätigt auch die von Galileo Galilei durchgeführten Experimente, in denen er zeigen konnte, dass alle Körper, unabhängig ihrer Form, Masse, oder Beschaffenheit, auf der Erde gleich schnell nach unten fallen. Unterschiede in der Praxis lassen sich allesamt auf den Luftwiderstand zurückführen. Zum Beispiel fallen eine Feder und eine (Bowling?-)Kugel im Vakuum (d.h. in Abwesenheit von Luftreibung) genau gleich schnell! Siehe dazu das Video:
Die von der Gravitation der Erde verursachte Beschleunigung frei fallender Körper heißt Erdbeschleunigung, und wird meist mit \(g\) bezeichnet. Sie ist für alle Körper gleich, und beträgt rund \(9,\!81\,\text{m}/\text{s}^2\) auf der Erdoberfläche.
Mit Hilfe der weiter oben erwähnten Formel für die Beschleunigung von Massen unter dem Einfluss von Gravitation lässt sich folgende Gleichung für \(g\) hinschreiben:
\(g=\displaystyle \frac{GM}{R^2}\).
Dabei sind \(G\) und \(g\) bekannt, und \(R\) ist der ebenfalls messbare Erdradius (wir erinnern uns: Bereits im antiken Griechenland waren die ersten Messwerte bekannt), er hat den Wert \(R=6370\,\text{km}\) (da die Erde keine perfekte Kugel ist, ist das auch nur eine Näherung). Die einzige Unbekannte in dieser Gleichung ist die Erdmasse! Das können wir uns zu Nutze machen, um eben diese zu berechnen! Formen wir obige Gleichung nach \(M\) auf, und setzen alle uns bekannten Werte ein, so erhalten wir
\(M=\displaystyle\frac{ gR^2}{G} =\frac{ 9,\!81\cdot 6370000^2}{6,\!674\cdot 10^{-11}} = 5,964\cdot 10^{24}\,\text{kg}\).
Da die Erde keine perfekte Kugel ist, und man die Gravitationskonstante nur ungenau kennt, ist das auch kein sehr exakter Wert. Der genaueste bekannte Wert für die Erdmasse wird von der NASA mit \(5,\!9722\cdot 10^{24}\,\text{kg}\) angegeben [1]
Quellen:
[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Erdmasse (Stand : 21.9.2016).