Theorie:
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren und ist ein Skalar, also eine Zahl. Diese Zahl entspricht dem Produkt der Beträge dieser Vektoren mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels :
Haben die Vektoren keinen gemeinsamen Ausgangspunkt, so berechnet man den eingeschlossenen Winkel der zu einem gemeinsamen Ausgangspunkt verschobenen Vektoren.
Der Winkel zwischen den Vektoren wird so bezeichnet: .
1. Sind die Vektoren parallel, dann ist :
Wichtig!
Da der Kosinus des Winkels von \(0\) Grad \(1\) ist, ist das Skalarprodukt der parallelen Vektoren das Produkt ihrer Längen.
2. Sind die Vektoren antiparallel, so ist :
Wichtig!
Da der Kosinus des Winkels von \(180\) Grad \(-1\) beträgt, entspricht das Skalarprodukt der antiparallelen Vektoren dem negativen Produkt ihrer Längen.
3. Die Vektoren werden orthogonal genannt, wenn :
Wichtig!
Da der Kosinus eines rechten Winkels gleich \(0\) ist, ist das Skalarprodukt der orthogonalen Vektoren gleich \(0\).
4. Wenn die Vektoren den stumpfen Winkel bilden, gilt:
Wichtig!
Da der Kosinus eines stumpfen Winkels negativ ist, ist das Skalarprodukt der Vektoren, die einen stumpfen Winkel bilden, auch negativ.
Wenn und , .
Da in den Koordinaten und , ist es möglich, den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren sowie die Größe des Winkels zu bestimmen.
Eigenschaft des Skalarproduktes
1. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist immer größer oder gleich null. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist nur dann null, wenn der Vektor der Nullvektor ist.
2. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst entspricht dem Quadrat seines Betrags:
3. Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz:
4. Für das Skalarprodukt gilt das Distributivgesetz:
5. Für das Skalarprodukt gilt das Assoziativgesetz:
6. Ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren (die ungleich null sind) gleich null, sind diese Vektoren orthogonal.