Gegenseitige Lage zweier Geraden — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Allgemeinen Geradengleichungen

Wichtig!

Sind die allgemeinen Gleichungen zweier Geraden

l_{1}

und

l_{2}

gegeben als

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

und

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

, so sind sie:

a) zueinander parallel oder stimmen überein falls

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}

b) stimmen überein für

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}

;

c) sind zueinander orthogonal für

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0

a) Die Geraden sind zueinander parallel (oder stimmen überein) , wenn ihre Normalvektoren

\vec{n_{1}} = (a_{1}; b_{1})

und

\vec{n_{2}} = (a_{2}; b_{2})

kollinear sind (auf parallelen Geraden liegen), d.h. ihre Koordinaten sind proportional.
Daraus bekommt man als Voraussetzung der Parallelität

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}

b) Die Geraden stimmen nur dann überein, wenn die allgemeinen Gleichungen durch Multiplizieren mit einer Konstanten

λ \neq 0

ineinander umgeformt werden können:

(λ A_{1}) x + (λ B_{1}) y + (λ C_{1}) = 0

stimmt mit der Gleichung

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

überein.

Daraus erhält man die Voraussetzung

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}

c) Die Geraden sind nur dann zueinander orthogonal, wenn ihre Normalvektoren

\vec{n_{1}} = (a_{1}; b_{1})

und

\vec{n_{2}} = (a_{2}; b_{2})

orthogonal sind. Das Skalarprodukt der Vektoren ist \(0\).

Daraus erhält man die Bedingung

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0

Explizite Geradengleichung:

Wichtig!

Sind die expliziten Gleichungen

y = k_{1} x + d_{1}

und

y = k_{1} x + d_{2}

, dann sind die Geraden:
a) zueinander parallel oder stimmen überein für

k_{1} = k_{2}

;
b) stimmen überein für

k_{1} = k_{2}

und

d_{1} = d_{2}

;
c) zueinander orthogonal für

k_{1} \cdot k_{2} = - 1

Die Steigung kann man als

k = - \frac{a}{b}

ausdrücken, wenn \(b\) ungleich \(0\) ist.

a) In diesem Fall erhält man die Bedingung für Parallelität (oder Übereinstimmung):

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \Rightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} \Rightarrow - \frac{a_{1}}{b_{1}} = - \frac{a_{2}}{b_{2}} \Rightarrow k_{1} = k_{2}

b) Stimmen die Geraden überein, stimmen ihre Gleichungen auch überein und es ist

k_{1} = k_{2} und d_{1} = d_{2}

c) Die Bedingung für Orthogonalität wird folgendermaßen bestimmt:

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0 \Rightarrow a_{1} a_{2} = - b_{1} b_{2} \Rightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} \frac{a_{2}}{b_{2}} = - 1 \Rightarrow k_{1} k_{2} = - 1

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