1. Darstellung des Ausdrucks A sin x+ B cos x als C sin (x+t)

 

Als Beispiel betrachten wir den Ausdruck $\sqrt{3}\mathit{sin}x+\mathit{cos}x$. Schreibt man den Ausdruck als $2\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{sin}x+\frac{1}{2}\mathit{cos}x\right)$ und berücksichtigt, dass $\frac{\sqrt{3}}{2}=\mathit{cos}\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{1}{2}=\mathit{sin}\frac{\mathrm{\pi }}{6}$, so bemerkt man, dass der Ausdruck in Klammern den Sinus der Summe der Argumente \(x\) und $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$ darstellt.

Wir erhalten $2\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{sin}x+\frac{1}{2}\mathit{cos}x\right)=2\cdot \left(\mathit{cos}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\mathit{sin}x+\mathit{sin}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\mathit{cos}x\right)=2\mathit{sin}\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

 

Es gilt also, dass $\sqrt{3}\mathit{sin}x+\mathit{cos}x=2\mathit{sin}\left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

 

Man hat den Ausdruck $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$ für $A=\sqrt{3},B=1$ als $C\cdot \mathit{sin}(x+t)$ dargestellt, mit \(C=2\), $t=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$.

 

 

 

 Man bemerkt, dass ${\left(\frac{A}{C}\right)}^2+{\left(\frac{B}{C}\right)}^2=1$, da ${\left(\frac{A}{C}\right)}^2+{\left(\frac{B}{C}\right)}^2=\frac{A^2}{C^2}+\frac{B^2}{C^2}=\frac{A^2+B^2}{C^2}=\frac{C^2}{C^2}=1$.

 

Das bedeutet, dass der Zahlenpaar $\frac{A}{C}$, $\frac{B}{C}$ die Gleichung $x^2+y^2=1$ erfüllt, d.h. der Punkt mit den Koordinaten $\left(\frac{A}{C};\frac{B}{C}\right)$ liegt auf dem Einheitskreis. Dann $\frac{A}{C}$ ist der Kosinus, und $\frac{B}{C}$ der Sinus des Arguments \(t\), d.h. $\frac{A}{C}=\mathit{cos}t,\frac{B}{C}=\mathit{sin}t$.

 

Damit kann man den Ausdruck $A \cdot \mathit{sin} x+ B \cdot \mathit{cos} x$ umformen zu:

$A\cdot \mathit{sin}x+ B\cdot \mathit{cos}x=C\cdot \left(\frac{A}{C}\mathit{sin}x+\frac{B}{C}\mathit{cos}x\right)=C\left(\mathit{cos}t\cdot \mathit{sin}x+\mathit{sin}t\cdot \mathit{cos}x\right)=C\cdot \mathit{sin}\left(x+t\right)$.