Formeln des doppelten Argumentes — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Die Formeln des doppelten Argumentes ermöglichen, trigonometrische Funktion des doppelten Argumentes als einen Ausdruck der trigonometrischen Funktionen des einfachen (Einzelargumentes) Argumentes sich vorstellen.

Diese Formeln stellen jeweils einen Zusammenhang zwischen \(sin 2 x, cos 2 x, tan 2 x\) und \(sin x, cos x, tan x\) her.

Leiten wir die Formeln des doppelten Argumentes für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion schrittweise ab und beweisen sie.

1. Man betrachtet den Ausdruck \(sin 2 x\) - man stellt das Argument als \(2 x=x+x\) dar und wendet die Formel des Sinus der Summe der Argumente an:

\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β

Man erhält:

\sin 2 x = \sin (x + x) = \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot \sin x = 2 \sin x \cdot \cos x

Die Formel des Sinus des doppelten Argumentes:

\sin 2 x = 2 \sin x \cdot \cos x

2. Man betrachtet den Ausdruck \(cos 2 x\) und stellt das Argument als \(2 x=x+x\) dar, und nutzt die Formel von Kosinus der Summe der Argumente:

\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β

Es ergibt sich:

\cos 2 x = \cos (x + x) = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Die Formel des Kosinus des doppelten Argumentes:

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

3. Jetzt betrachtet man den Ausdruck \( tan 2 x\) und stellt das Argument wieder als \(2 x=x+x\) dar, was das Anwenden der Formel des Tangens der Summe der Argumente ermöglicht:

\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β}

Es ergibt sich:

\tan 2 x = \tan (x + x) = \frac{\tan x + \tan x}{1 - \tan x \cdot \tan x} = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^{2} x}

Die Formel des Tangens des doppelten Argumentes:

\tan 2 x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^{2} x}

Wichtig!

Die Formeln für Sinus und Kosinus des doppelten Argumentes werden für beliebige Werte des Argumentes erfüllt, während die Formel des Tangens des doppelten Argumentes nur fürbestimmte Werte des Argumentes \( x \), für die die Funktionen \( tan x\) und \( tan 2 x\) definiert sind, und der Nenner des Bruches ungleich null ist, d.h.