Theorie:
Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, die eine Unbekanntes im Argument einer trigonometrischen Funktion enthält.
Die grundsätzlichen Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen sind:
1. Faktorisierung
Die Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind dann jene \(x\), für die entweder oder (oder beides).
Beispiel:
Folgende Gleichung soll durch Faktorisierung gelöst werden:
.
.
Wir erhalten die zwei Teilgleichungen
Aus diesen Gleichungen finden wir dementsprechend:
Wichtig!
Beim Übergang von der Gleichung zu den Gleichungen und muss beachtet werden, dass für Lösungen der Teilgleichungen möglicherweise nicht im Definitionsbereich der Gesamtgleichung (bzw. der jeweils anderen Teilgleichung) liegen.
Beispiel:
Betrachten wir die Gleichung .
Aus der Gleichung finden wir:
Aus der Gleichung finden wir: .
Die zweite Schar von Lösungen, , sind jedoch keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung, da hier der andere Faktor keinen Sinn hat, d.h. die Werte gehören nicht zum Definitionsbereich.
2. Substitution
Beispiel:
Wir wollen die folgende Gleichung lösen:
.
.
Dazu führen wir eine Variable ein, dann kann man die Gleichung wie folgt notieren .
Diese quadratische Gleichung kann (z.B. mit der großen Lösungsformel) gelöst werden - ihre Lösungen sind .
Das bedeutet, dass , oder .
Die Gleichung hat keine Lösungen und aus der Gleichung finden wir: .