Der Arkuskosinus und die Gleichung cos x=a — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Trigonometrische Gleichung - das ist eine Gleichung, welche eine Unbekannte unin einer trigonometrischen Funktion enthält.

Die Gleichungen der Form

\begin{array}{l} \sin x = a \\ \cos x = a \\ \tan x = a \\ \cot x = a \end{array}

sind die einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Die Gleichung

\cos x = a

Wenn

|a| > 1

, dann hat die Gleichung

\cos x = a

keine Lösungen.

Wenn

|a| \leq 1

, dann werden die Lösungen der Gleichung durch die Formel

x = \pm \arccos a + 2 π k, k \in ℤ

ausgedrückt.

wobei

\arccos a

(Arkuskosinus von \(a\)) die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion ist.

Für

|a| \leq 1

ist

\arccos a

jene Zahl aus dem Intervall

[0; π]

, deren Kosinus gleich \(a\) ist.

Anders gesagt:

\arccos a = x \Rightarrow \cos x = a, |a| \leq 1, x \in [0; π]

Beispiel:

Finden wir

\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}

Der Ausdruck

\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}

zeigt, dass der Kosinus des Winkels

x

gleich

\frac{\sqrt{2}}{2}

ist, d.h. (

\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Wir suchen diesen Wert auf dem Einheitskreis:

Die Koordinate

x

des entsprechenden Punktes ist

\frac{π}{4}

Das bedeutet,

\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4}

Wichtig!

Wenn

\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

, dann ist

\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4}

Im ersten Fall definieren wir den Kosinuswert durch den Punkt auf dem Einheitskreis, im zweiten Fall, finden wir umgekehrt den Punkt auf dem Einheitskreis nach dem Kosinuswert (wir gehen also in die entgegengesetzte Rechenrichtung). In diesem Sinn ist der Arkuskosinus die Umkehrung des Kosinus.

Für jedes