Theorie:
Die Menge der Zahlen \(\{0, 1, 2, 3, 4,\ldots\}\) ist die Menge der natürlichen Zahlen. Wir bezeichnen sie mit \(\mathbb N\).
Beispiele für natürliche Zahlen sind \(34; 2\), oder \(9328511\). Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die wir im Alltag zum Beschreiben einer Anzahl von unteilbaren Einheiten verwenden:
- \(5\) Steine
- \(18\) Personen
- \(4\) Räder
Sie sind gewissermaßen mit den Sinnen erfassbar.
Wenn wir ausdrücken wollen, dass eine Zahl \(n\) in den natürlichen Zahlen liegt, schreiben wir \(n\in\mathbb N\). Man liest das als "\(n\) ist ein Element der natürlichen Zahlen".
Beispiele von Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind, sind
- \(-6\)
- \(\frac 34\)
- \(4,677\)
Wir können folgende Rechenoperationen innerhalb von \(\mathbb N\) ausführen:
\(\bullet\) Addition ("\(+\)"): Die Addition zweier natürlicher Zahlen ist die naheliegendste Rechenoperation auf \(\mathbb N\). Sind \(m,n\) zwei natürliche Zahlen, dann ist ihre Summe wieder eine natürliche Zahl:
\(m+n\in\mathbb N\).
Die Addition führt also nie aus den natürlichen Zahlen heraus.
\(\bullet\) Multiplikation ("\(\cdot\)"): Man kann je zwei natürliche Zahlen multiplizieren, das Resultat ist immer eine natürliche Zahl. D.h., falls \(m\in \mathbb N\) und \(n\in \mathbb N\) zwei natürliche Zahlen sind, dann gilt:
\(m\cdot n\in \mathbb N\).
So ist beispielsweise \(7\cdot 3=21\), was auch wieder eine natürliche Zahl ist.
\(\bullet\) Subtraktion ("\(-\)"): Hat man zwei natürliche Zahlen \(m\ge n\), dann können wir die Differenz \(m-n\) bilden, und das Resultat ist wieder eine natürliche Zahl. Von beliebigen natürlichen Zahlen kann man aber nicht immer die Differenz bilden, das Ergebnis kann möglicherweise keine natürliche Zahl mehr sein:
\(7-5=2\in \mathbb N\), aber \(5-7=-2\notin\mathbb N\).
\(\bullet\) Division ("\(:\)"): Hat man zwei natürliche Zahlen \(m,n\) mit der Eigenschaft, dass \(n\) von \(m\) geteilt wird, so kann man den Quotienten \(\frac nm\) bilden, und das Ergebnis der Division ist wieder eine natürliche Zahl. Bleibt hingegen bei der Division zweier natürlicher Zahlen ein Rest ungleich \(0\) übrig, so ist das Ergebnis der Division keine natürliche Zahl mehr.
Beispiel:
- \(3\) teilt \(18\), also können wir \(18\) durch \(3\) dividieren, und das Ergebnis ist wieder eine natürliche Zahl:
\(\frac {18}3=6\in \mathbb N\).
- \(4\) teilt \(9\) nicht, bei der Division bleibt ein Rest. Das Ergebnis der Division \(\frac 94\) ist keine natürliche Zahl mehr (sondern \(2,25\)).
- Addition und Multiplikation können ohne Einschränkung innerhalb der natürlichen Zahlen durchgeführt werden, das Ergebnis ist immer auch eine natürliche Zahl.
- Division und Subtraktion können manchmal auch in den natürlichen Zahlen durchgeführt werden, und liefern dann eine natürliche Zahl als Resultat. Oft ist das Ergebnis dieser Operationen jedoch keine natürliche Zahl mehr!
Wichtig!
Man sagt, dass \(\mathbb N\) abgeschlossen ist bezüglich der Addition und der Multiplikation, weil die Anwendung dieser Operationen nie aus den natürlichen Zahlen hinausführt.
Im Gegensatz dazu ist \(\mathbb N\) nicht abgeschlossen bezüglich der Subtraktion und der Division, weil das Ergebnis dieser Operationen manchmal keine natürliche Zahl mehr ist.