Betragsfunktion y=|x| — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Die Funktion, die jeder beliebigen reellen Zahl

$x$ ihren Betrag,

$|x|$ , zuordnet, ist die Betragsfunktion

$y=|x|$ .

Es ist

$y = \{\begin{cases} x f ü r x \geq 0 \\ - x f ü r x < 0 \end{cases}$

In diesen Fällen zeichnet man den Graphen schrittweise. Zuerst konstruiert man die Gerade

$y=x$ und zeichnet sie im Intervall

$[0; + \infty)$ .

Danach bildet man die Gerade

$y=-x$ und zeichnet sie im Intervall

$(- \infty; 0)$ .

Schließlich werden die beiden Teile in einem Koordinatensystem zusammengefügt. Man erhält den Graphen der Funktion

$y=|x|$ .

Identitätsgleichung

$\sqrt{a^{2}} = |a|$

Wir wissen, dass für

$a \geq 0, \sqrt{a^{2}} = a$ . Was aber erhält man, wenn

$a < 0$ ?

In diesem Fall kann man nicht

$a \geq 0, \sqrt{a^{2}} = a$ schreiben, da

$a < 0$ . Man würde also erhalten, dass

$\sqrt{a^{2}} < 0$ . Das ist aber falsch, denn der Wert der Quadratwurzel kann nicht negativ sein.

Wie kann man nun den Wert des Ausdrucks

$\sqrt{a^{2}}$ für

$a < 0$ bestimmen? Nach der Definition muss das Ergebnis einer Quadratwurzel immer eine positive Zahl sein und nach dem Potenzieren mit 2 die Zahl unter der Wurzel ergeben, d.h.

$a^{2}$ . Eine Zahl, die diese Eigenschaften erfüllt, ist die Zahl

$- a$ , denn:

$- a > 0$ (

$a$ ist eine negative Zahl, also ist

$- a$ eine positive Zahl);

${(- a)}^{2} = a^{2}$

Also,

$\sqrt{a^{2}} = \{\begin{cases} a f ü r a \geq 0 \\ - a f ü r a < 0 \end{cases}$

Die rechte Seite der Gleichung sieht bekannt aus. Der Betrag der Zahl

$a$ wird ganz analog bestimmt:

$|a| = \{\begin{cases} a f ü r a \geq 0 \\ - a f ü r a < 0 \end{cases}$

Das heißt

$\sqrt{a^{2}}$ und

$| a |$ liefert dasselbe Ergebnis, die Zahlen sind also gleich.

Wichtig!

Wir haben also die Identität

$\sqrt{a^{2}} = |a|$ bewiesen.

$a$ kann auch durch jeden beliebigen Zahlen- oder algebraischen Ausdruck ersetzt werden.

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