11. Kettenbruch

Wir untersuchen hier einen unendlichen Kettenbruch:

 

\(\displaystyle x=6+\frac 1{1 +\frac 1{6 +\frac 1{1+  \frac 1{6 +\frac 1{1+ \cdots } }} } }\).

 

Die Punkte deuten an, dass es so unendlich lange weitergeht, und die Zahlen 6 und 1 wechseln sich periodisch ab. Die von diesem Bruch dargestellte Zahl ist \(x=\frac{6+\sqrt 60}2\). Natürlich kann man den Kettenbruch in endlicher Zeit nie "zu Ende" rechnen, man muss irgendwann abbrechen. Der so erhaltene Wert wird im Allgemeinen eine brauchbare Näherung von \(x\) sein. Berechne hier nun eine Näherung von \(x\), indem du den folgenden (abgebrochenen) Kettenbruch ausrechnest, und gib ihn als einfachen, gekürzten Bruch an:

 

\(\displaystyle x=6+\frac 1{1 +\frac 1{6 +\frac 1{1+  \frac 1{6 +\frac 1{1 + \frac 1{6 +\frac 1{1 } }} }} } }\).

 

Antwort: $\frac{i}{i}$.