3. Homogene quadratische Gleichungen

Wir nehmen an, dass wir bei unserer quadratischen Gleichung schon alles auf eine Seite gebracht haben; das heißt, wir haben die Standardform: \( ax^2 + bx + c = 0. \)

 

Falls \(c=0\) ist, fehlt der konstante Term, und wir haben eine homogene Gleichung

\[ ax^2+bx=0 \]

mit beliebigen reellen Zahlen \(a\) und \(b\).

In diesem Fall könnten wir versucht sein, durch \(x\) zu dividieren, und dabei die lineare Gleichung \(ax+b=0\) erhalten. Damit bekommen wir aber nicht alle Lösungen, denn beim Dividieren durch die Unbekannte geht die Lösung \(x=0\) verloren.

 

Stattdessen heben wir ein \(x\) heraus und bekommen

\[ x(ax+b) =0 \,. \]

Wir sehen, dass das Produkt von \(x\) und \(ax+b\) gleich Null ergeben muss. Wir können hier eine Argumentation verwenden, die in vielen ähnlichen Fällen hilft: Wenn das Produkt zweier (oder mehrerer) Ausdrücke Null ergeben soll, dann muss mindestens einer der Ausdrücke gleich Null sein. Denn das Produkt zweier Zahlen, die beide nicht Null sind, kann niemals Null ergeben. Das ist ein sehr nützlicher Trick, der uns oft hilft.

 

Also muss entweder \(x=0\) sein (das ist unsere erste Lösung), oder es muss \(ax + b = 0\) gelten. Das ist die lineare Gleichung, die wir bei einer Division durch \(x\) erhalten hätten. Sie liefert uns die zweite Lösung. Wir sehen aber, dass wir bei der Division durch \(x\) unsere erste Lösung \(x=0\) verloren hätten. Die zweite Lösung erhalten wir durch Auflösen der linearen Gleichung

\[ ax + b = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{a} \,.\]

Insgesamt haben wir also zwei Lösungen für unsere homogene quadratische Gleichung, nämlich

\[ x_1 = 0 \quad \text{ und } \quad x_2 = -\frac{b}{a} \,.\]

Probiere es aus: beide Lösungen werden die homogene Gleichung oben erfüllen, wenn man sie für \(x\) einsetzt.