1. Grafische Lösung quadratischer Gleichungen

 

Löse die Gleichung $x^2-2x-3=0$.

 

Erste Methode.

  

Wir zeichnen den Funktionsgraphen.

1. Wir haben: \(a = 1, b = -2\), $x_0=-\frac{b}{2a}=\mathrm{1,}{y}_0=f(1)=1^2-2-3=-4$. Also ist der Punkt \((1; -4)\) der Scheitelpunkt der Parabel, und die Gerade \(x = 1\) ist ihre Achse.

 

2. Wählen wir auf der \(x\)-Achse zwei Werte, die symmetrisch bezüglich der Achse der Parabel sind, zum Beispiel die Stellen \(x = -1\) und \(x = 3\). Wir haben \(f(-1) = f(3) = 0\). Wir können im Koordinatensystem die Punkte \((-1; 0)\) und \((3; 0)\) eintragen.

 

3. Wir verbinden die Punkte \((-1; 0), (1; -4), (3; 0)\) mit einer Parabel.

 

 

Die Lösungen der Gleichung $x^2-2x-3=0$ sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der \(х\)-Achse; also die Nullstellen $x_1=-1;x_2=3$ der Funktion.

 

Zweite Methode.

Wir bringen die Gleichung in die Form $x^2=2x+3$ und zeichnen die Funktionsgraphen $y=x^2;y=2x+3$ in das gleiche Koordinatensystem ein.

 

 

Die Graphen schneiden einander in den Punkten \(C(- 1; 1)\) und \(D(3; 9)\). Die Lösungen der Gleichung sind die Abszissen der Punkte \(C\) und \(D\), also ist $x_1=-1;x_2=3$.

Wir bringen die Gleichung in die Form $x^2-3=2x$ und zeichnen die Funktionsgraphen $y=x^2-3;y=2x$ in einem Koordinatensystem:

 

 

Die Graphen schneiden einander in den zwei Punkten \(C(-1; - 2)\) und \(D(3; 6)\). Die Lösungen der Gleichung sind die Abszissen der Punkte \(C\) und \(D\), deshalb ist $x_1=-1;x_2=3$.

 

Vierte Methode.

  

Wir schreiben die Gleichung als $x^2-2x+1-4=0$ und bemerken, dass $x^2-2x+1=4\to {\left(x-1\right)}^2=4$.
Wir zeichnen die Parabel $y={\left(x-1\right)}^2$ und die Gerade \(y = 4\) in ein Koordinatensystem.

 

 

Die Graphen schneiden einander in den zwei Punkten \(C(-1; 4)\) und \(D(3; 4)\). Die Lösungen der Gleichung sind die Abszissen der Punkte \(C\) und \(D\), deshalb ist $x_1=-1;x_2=3$.

 

 

Indem wir beide Seiten der Gleichung durch \(x\) dividieren, erhalten wir:

Wir zeichnen die Hyperbel $y=\frac{3}{x}$ und die Gerade \(y = x - 2\) in ein Koordinatensystem.

 

 

Sie schneiden einander in den zwei Punkten \(A (-1; -3)\) und \(B(3; 1)\). Die Lösungen der Gleichung sind die Abszissen der Punkte \(A\) und \(B\), also ist $x_1=-1;x_2=3$.

 

 

Wir haben die quadratische Gleichung $x^2-2x-3=0$ auf fünf  Weisen gelöst. Alle fünf bedienen sich der gleichen grundsätzlichen Methode, dem grafischen Lösen von Gleichungen.

Beachte, dass die ersten vier Methoden allgemein anwendbar sind, während die fünfte nur für Fälle mit \(c\neq0\) (also wenn \(x=0\) keine Lösung ist) funktioniert.