Theorie:
Ein anderer Weg zur Beschreibung statistischer Daten sind die sogenannten Quartile und der Median. Hier werden die Einzelwerte zuerst nach Größe geordnet und gezählt.
Der Median einer Stichprobe ist jener Einzelwert, der genau in der Mitte der geordneten Stichprobe liegt.
Wenn der Stichprobenumfang eine gerade Zahl ist (und daher zwei Werte in der Mitte liegen), so ist der Median das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen.
Wenn der Stichprobenumfang eine gerade Zahl ist (und daher zwei Werte in der Mitte liegen), so ist der Median das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen.
Die zwei Quartile einer Stichprobe sind jene Werte, die bei einem bzw. drei Vierteln der geordneten Stichprobe liegen (analog zum Median).
Mit anderen Worten:
Genau ein Viertel aller Einzelwerte sind kleiner als das untere Quartil.
Genau die Hälfte aller Einzelwerte sind kleiner bzw. größer als der Median.
Genau drei Viertel aller Einzelwerte sind kleiner als das obere Quartil.
Genau ein Viertel aller Einzelwerte sind kleiner als das untere Quartil.
Genau die Hälfte aller Einzelwerte sind kleiner bzw. größer als der Median.
Genau drei Viertel aller Einzelwerte sind kleiner als das obere Quartil.
Der Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Quartil kann als Streuungsmaß (ähnlich der Standardabweichung) benutzt werden. Er wird Quartilsabstand genannt.
Beispiel:
Marina hat sich folgende Zahlen ausgedacht:
\(0,12; 1; 0,5; 12; 3,8, 2,2; 1,8; 0,255; 1,1\).
Zur Bestimmung des Medians und der Quartile wird die Stichprobe zuerst geordnet. Wir erhalten:
\(0,12; 0,255; 0,5; 1; 1,1; 1,8; 2,2; 3,8; 12\).
Der Median ist der mittlere Wert dieser Liste, also der \(5.\) der \(9\) Werte (da dann je genau vier Werte oberhalb und unterhalb liegen): \(1,1\)
Das untere Quartil ist der Wert, der bei einem Viertel der Liste liegt, also der \(3.\) der \(9\) Werte (da dann zwei Werte unterhalb und sechs Werte oberhalb liegen): \(0,5\)
Das obere Quartil ist der Wert, der bei drei Vierteln der Liste liegt, also der \(7.\) der \(9\) Werte (da dann sechs Werte unterhalb und zwei oberhalb liegen): \(2,2\)
Der Quartilsabstand ist \(2,2 - 0,5 = 1,7\).
\(0,12; 1; 0,5; 12; 3,8, 2,2; 1,8; 0,255; 1,1\).
Zur Bestimmung des Medians und der Quartile wird die Stichprobe zuerst geordnet. Wir erhalten:
\(0,12; 0,255; 0,5; 1; 1,1; 1,8; 2,2; 3,8; 12\).
Der Median ist der mittlere Wert dieser Liste, also der \(5.\) der \(9\) Werte (da dann je genau vier Werte oberhalb und unterhalb liegen): \(1,1\)
Das untere Quartil ist der Wert, der bei einem Viertel der Liste liegt, also der \(3.\) der \(9\) Werte (da dann zwei Werte unterhalb und sechs Werte oberhalb liegen): \(0,5\)
Das obere Quartil ist der Wert, der bei drei Vierteln der Liste liegt, also der \(7.\) der \(9\) Werte (da dann sechs Werte unterhalb und zwei oberhalb liegen): \(2,2\)
Der Quartilsabstand ist \(2,2 - 0,5 = 1,7\).
Beispiel:
Ein Kilogramm Nudeln kostet in unterschiedlichen Geschäften
\(1,98; 3,50; 1,98; 1,79; 2,29\) und \(2,19\) Euro.
Zur Bestimmung des Medians sortieren wir diese Stichprobe zunächst:
\(1,79; 1,98; 1,98; 2,19; 2,29; 3,50\).
Da wir hier einen geraden Stichprobenumfang (\(n = 6\)) haben, ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Einzelwerte:
\(\frac{1,98 + 2,19}{2} = 2,085\) Euro.
\(1,98; 3,50; 1,98; 1,79; 2,29\) und \(2,19\) Euro.
Zur Bestimmung des Medians sortieren wir diese Stichprobe zunächst:
\(1,79; 1,98; 1,98; 2,19; 2,29; 3,50\).
Da wir hier einen geraden Stichprobenumfang (\(n = 6\)) haben, ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Einzelwerte:
\(\frac{1,98 + 2,19}{2} = 2,085\) Euro.
Formal können diese Werte auch folgendermaßen angeschrieben werden:
wobei \(\{x_i\}\) die geordneten Stichprobenwerte sind.
ungerades \(n\) | gerades \(n\) | |
| Median | \(x_{\frac{n+1}{2}}\) | \(\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}\) |
ganzzahliges \(\frac{n+1}{4}\) | nichtganzzahliges \(\frac{n+1}{4}\) | |
| unteres Quartil | \(x_{\frac{n+1}{4}}\) | |
oberes Quartil | \(x_{3\frac{(n+1)}{4}}\) |
wobei \(\{x_i\}\) die geordneten Stichprobenwerte sind.