Theorie:
Wir wollen nun eine Formel für ein geeignetes Maß für die mittlere Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert finden.
Um ein sinnvolles Maß für die durchschnittliche Abweichung eines Wertes vom Mittelwert zu finden, muss man ein bisschen in die mathematische Trickkiste greifen. Eine lineare Funktion hilft uns hier nicht weiter, da positive und negative Abweichungen einander hier aufheben würden. Wir versuchen es also mit einer quadratischen Funktion der Einzelabweichungen und summieren die einzelnen Werte:
\((\mu - x_1)^2 + (\mu - x_2)^2 + \dots + (\mu - x_n)^2 = \sum_{i = 1}^n (\mu - x_i)^2\)
Damit sind wir schon einen Schritt weiter. Nun haben wir das Problem, dass diese Größe umso größer wird, je mehr Einzelwerte wir haben - das soll jedoch nicht so sein, da wir ja einen durchschnittlichen Wert haben wollen, der nicht von der Anzahl der Werte abhängen soll. Außerdem macht eine Abweichung für einen einzigen Wert (also für \(n = 1\)) nicht wirklich Sinn.
Wir dividieren unsere Größe daher durch \((n-1)\), um diese beiden Probleme zu beheben:
\(\frac{\sum_{i = 1}^n (\mu - x_i)^2}{n-1}\)
Damit haben wir schon ein recht gutes Maß gefunden. Diese Größe wird auch tatsächlich in der Praxis häufig verwendet und Varianz genannt.
Sie hat nur einen wesentlichen Nachteil: sie ist eine quadratische Größe. Wenn wir also beispielsweise eine Länge betrachten, die in der Einheit Meter gemessen wird, hat die Varianz die Einheit Quadratmeter. Damit kann man sich oft nicht besonders gut vorstellen, was diese Größe in Bezug auf die vorliegende Stichprobe bedeutet. Um also eine Größe mit derselben Einheit zu bekommen, die auch die Einzelwerte und der Mittelwert haben, ziehen wir die Wurzel aus der Varianz. Die so erhaltene Größe nennen wir die Standardabweichung - wir bezeichnen sie mit \sigma ("Sigma"):
\[\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^n (\mu - x_i)^2}{n-1}}\]
Mit Mittelwert und Standardabweichung können wir endlich die wichtigsten Eigenschaften einer Menge von Einzelwerten zusammenfassen.
Beispiel:
Die in einem Geschäft angebotenen Äpfel kosten Äpfel pro Kilogramm (je nach Sorte):
Euro.
Der Mittelwert ist
\(\mu = \frac{0,8 + 0,9 + 1 + 1,1 + 1,2}{5} = \frac{5,0}{5} = 1\),
die Standardabweichung
\(\sigma = \sqrt{\frac{(1-0,8)^2 + (1-0,9)^2 + (1-1,0)^2 + (1-1,1)^2 + (1-1,2)^2}{4}} = \sqrt{\frac{0,2^2 + 0,1^2 + 0^2 + 0,1^2 + 0,2^2}{4}} = \sqrt{\frac{0,04 + 0,01 + 0 + 0,01 + 0,04}{4}} = \sqrt{\frac{0,1}{4}} = \sqrt{0,025} = 0,158...\)
Wir können also sagen:
Die Äpfel kosten
\(1,00 \pm 0,16\) Euro pro kg.
| \(0,80\) | \(0,90\) | \(1,00\) | \(1,10\) | \(1,20\) |
Der Mittelwert ist
\(\mu = \frac{0,8 + 0,9 + 1 + 1,1 + 1,2}{5} = \frac{5,0}{5} = 1\),
die Standardabweichung
\(\sigma = \sqrt{\frac{(1-0,8)^2 + (1-0,9)^2 + (1-1,0)^2 + (1-1,1)^2 + (1-1,2)^2}{4}} = \sqrt{\frac{0,2^2 + 0,1^2 + 0^2 + 0,1^2 + 0,2^2}{4}} = \sqrt{\frac{0,04 + 0,01 + 0 + 0,01 + 0,04}{4}} = \sqrt{\frac{0,1}{4}} = \sqrt{0,025} = 0,158...\)
Wir können also sagen:
Die Äpfel kosten
\(1,00 \pm 0,16\) Euro pro kg.
Die Standardabweichung einer Menge \(\{x_i\}\) von \(n\) Einzelwerten mit dem Mittelwert \(\mu\) ist
\(\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^n (\mu - x_i)^2}{n-1}}\).
Ihr Quadrat \(\sigma^2\) wird Varianz genannt und ist ebenfalls ein Maß für die Streuung der Einzelwerte.
\(\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^n (\mu - x_i)^2}{n-1}}\).
Ihr Quadrat \(\sigma^2\) wird Varianz genannt und ist ebenfalls ein Maß für die Streuung der Einzelwerte.