Theorie:
Eine Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, und deren Spitze auf den Mittelpunkt der Grundfläche projiziert wird, wird eine regelmäßige Pyramide genannt.
Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind kongruente gleichseitige Dreiecke.
Eine regelmäßige dreiseitige Pyramide, deren Kanten gleich lang sind, wird Tetraeder genannt.
Alle Flächen des Tetraeders sind kongruente gleichseitige Dreiecke.
Wir interessieren uns im Speziellen für
- regelmäßige dreiseitige Pyramiden;
- regelmäßige vierseitige Pyramiden;
- regelmäßige sechsseitige Pyramiden.
Regelmäßige dreiseitige Pyramide
Die Grundfläche (Basis) einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide ist ein gleichseitiges Dreieck.
Die Spitze der Pyramide wird auf den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden der Basis projiziert.
Merk Dir:
\(BN:NK = 2:1\)
\(NKD\) und \(NLD\) sind die Flächenwinkel an der Basis der Pyramide;
\(DCN\) und \(DBN\) sind die Winkel zwischen der Seitenkante und der Grundfläche der Pyramide.
Regelmäßige vierseitige Pyramide
Die Grundfläche einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide ist ein Quadrat.
Die Spitze der Pyramide wird auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (des Quadrats) projiziert.
\(MLO\) ist ein Flächenwinkel an der Basis der Pyramide,
\(MCO\) ist ein Winkel zwischen der Seitenkante und der Basis der Pyramide.
Regelmäßige sechsseitige Pyramide
Die Grundfläche einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide ist ein regelmäßiges Sechseck.
Die Spitze der Pyramide wird auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (des Sechsecks) projiziert.
\(OES\) ist ein Flächenwinkel an der Basis der Pyramide.
Zur Berechnung der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide werden zwei Formeln angewandt:
,
wobei \(U\) der Umfang der Grundfläche, \(h\) die Höhe der dreieckigen Seitenflächen und der Flächenwinkel an der Grundfläche ist.
Das Volumen der Pyramide \(V =\), wobei \(H\) die Höhe der Pyramide ist.
Wichtig!
Nicht verwechseln:
\(h\) ist die Höhe der dreieckigen Seitenfläche;
\(H\) ist die Höhe der Pyramide.