Reguläre Polyeder — Theoretisches Material. Mathematik, 7. Schulstufe.

Ein konvexes Polyeder wird regulär gennnat, wenn:

1. Alle seine Flächen regelmäßige Polygone (Vielecke) sind;

2. In jedem Eckpunkt dieselbe Anzahl von Kanten zusammentreffen.

Alle Kanten eines regulären Polyeders sind gleich lang. Die Flächenwinkel, zwischen zwei Flächen mit einer gemeinsamen Kante sind im regulären Polyeder gleich groß.

Wichtige Fragen:

1. Welche regelmäßigen Vielecke können die Flächen eines regulären Polyeders sein?

2. Wie viele Flächen kann ein reguläres Polyeder haben?

Es gibt kein reguläres Polyeder, dessen Flächen regelmäßige Vielecke sind, wenn die Anzahl ihrer Seiten \(6\) oder mehr ist, d.h. regelmäßige \(n\)-Ecke, wenn

n \geq 6

1. In einem regelmäßigen \(n\)-Eck, mit

n \geq 6

, beträgt jeder Winkel nicht weniger als

120 °

2. In jedem Eckpunkt eines Vielecks müssen mindestens drei Winkel zusammentreffen.

3. Auch mit den drei Winkeln beträgt die Summe aller Winkel

360 °

4. Die Summe aller ebener Winkel an jedem Eckpunkt eines konvexen Polyeders ist kleiner als

360 °

Folglich gibt es kein reguläres Polyeder, dessen Flächen regelmäßige \(n\)-Ecke mit

n \geq 6

sind.

Nur regelmäßige Dreiecke, Vierecke (Quadrate) und Fünfecke können die Flächen eines regulären Polyeders sein.

Gibt es reguläre Polyeder mit so einer Fläche und wie viele Flächen haben sie?

Offensichtlich ist vier die kleinstmögliche Anzahl der Flächen.

Eulerscher Polyedersatz und reguläre Polyeder

Eulerscher Polyedersatz

In einem beliebigen konvexen Polyeder beträgt die Summe der Anzahl der Flächen und der Anzahl der Ecken um \(2\) mehr als die Anzahl der Kanten.

Mit dem Eulerscher Polyedersatz kann man die folgende Frage beantworten:

Welche regulären Polyeder gibt es überhaupt?

1. Man nimmt an, dass die Anzahl der in einem Eckpunkt zusammentreffenden Kanten eines regulären Polyeders \(m\) beträgt, und die Flächen des Polyeders regelmäßige \(n\)-Ecke sind.

2. Man drückt die Werte der Euler-Formel \(E\) (Ecken) und \(F\) (Flächen) durch

\(K\) (Kanten), \(m\) und \(n\) aus, wobei \(n\) und \(m\) ganze Zahlen sind, und \(m ≥ 3\), \(n =\) \(3;\) \(4\) oder \(5\).

3. Da jede Kante zwei Ecken verbindet, und in jedem Eckpunkt \(m\) Kanten zusammentreffen, gilt \(2K=Em\).

D.h.

E = \frac{2 K}{m}

4. Da jede Kante des Polyeders zu zwei Flächen gehört, \(Fn = 2K\).

D.h.

F = \frac{2 K}{n}

5. Man setzt die Ausdrücke von \(F\) und \(E\) in die Euler-Formel \(F + E - K = 2\) ein und bekommt:

\frac{2 K}{m} + \frac{2 K}{n} - K = 2

6. Dividiert man die beiden Teile der Gleichung durch \(2K\) bekommt man:

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{K}

7. Man löst diese Gleichung mit dem im vorigen Beweis berechneten Wert \(n =\)\(3\) und berechnet die zulässigen \(m\)-Werte.

\frac{1}{m} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{K}

\frac{1}{m} - \frac{1}{6} = \frac{1}{K}

Da aus Konsistenzgründen \(K > 0\) gelten muss, gilt auch \(3 ≤ m ≤5\).

Auf diese Weise erlaubt der Eulersche Polyedersatz das Bestehen der folgenden regulären Polyeder:
1. \(m=3, n=3, K=6, F=4\) — Tetraeder
2. \(m=3, n=4, K=12, F=6\) — Würfel

3. \(m=3, n=5, K=30, F=12\) — Dodekaeder
4. \(m=4, n=3, K=12, F=8\) — Oktaeder
5. \(m=5, n=3, K=30, F=20\) — Ikosaeder

Das Bestehen der folgenden regulären Polyeder wurde bewiesen:

- das Tetraeder mit \(4\) Flächen, \(6\) Kanten und \(4\) Ecken: