Theorie:
Tetraeder
Arten von Tetraedern
Ein Tetraeder ist ein Polyeder, dessen Seitenflächen vier Dreiecke sind. Dieser Name kommt aus dem Griechischen: tetra - vier und hedra - Fläche.
Abb. 1
Ein Tetraeder hat \(4\) Flächen, \(4\) Ecken und \(6\) Kanten (Abb. 1).
Eines der vier Dreiecke wird Grundfläche des Tetraeders genannt, die drei anderen sind die Seitenflächen des Tetraeders.
Je nach Art der Dreiecke und nach ihrer Lage unterscheidet man verschiedene Arten von Tetraedern.
Die die folgenden Arten von Tetraedern sind die am häufigsten verwendeten:
- gleichflächiges Tetraeder: alle Flächen sind zueinander kongruente Dreiecke;
- regelmäßige dreieckige Pyramide: ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche und drei kongruente gleichschenklige Dreiecken als Seitenflächen (Abb. 3).
- regelmäßiges Tetraeder: alle Flächen sind gleichseitige Dreiecke (Abb. 2).
Abb. 2 Abb. 3
Eigenschaften eines regelmäßigen Tetraeders:
Aus der Definition eines regelmäßigen Tetraeders folgt, dass alle Kanten des Tetraeders gleich lang sind, und alle Seitenflächen den gleichen Flächeninhalt haben.
Parallelepiped
Arten von Perallelepipeden
Ein Parallelepiped ist ein Polyeder, das \(6\) Parallelogramme als Seitenflächen hat.
Abb. 4
Ein Parallelepiped hat \(6\) Flächen, \(8\) Ecken und \(12\) Kanten (Abb. 4).
Zwei Flächen eines Parallelepipeds, die eine gemeinsame Kante haben, werden Nebenflächen genannt, und die Flächen, die keine gemeinsamen Kanten haben werden Gegenflächen (gegenüberliegende Flächen) genannt.
Die Gegenflächen werden auch Deck- und Grundfläche des Parallelepipeds genannt. Die anderen Flächen werden Seitenflächen genannt.
Die Kanten eines Parallelepipeds, die nicht zu den Deck- und Grundfläche gehören, werden Seitenkanten des Parallelepipeds genannt.
Abb. 5
Je nach Art der Parallelogramme und nach ihrer Lage unterscheidet man verschiedene Arten von Parallelepipeden:
Die geraden Parallelepipede haben die Rechtecke als Flächen (Abb. 5),
die schiefen Parallelepipede haben die Parallelogramme als Flächen (Abb. 4).
Ein gerades Parallelepiped, dessen Grundfläche auch ein Rechteck ist, wird ein rechteckiges Parallelepiped (Quader) genannt.
Abb. 6
Die Kantenlängen eines Quaders, die nicht parallel verlaufen, werden Maße des Quaders genannt.
Der gegebene Quader hat drei Maße , , (Abb. 6).
Eigenschaften eines Parallelepipeds:
- Die gegenüberliegenden Flächen eines Prallelepipeds sind kongruent und parallel.
- Die gegenüberliegenden Flächen eines Prallelepipeds sind kongruent und parallel.
- Alle vier Diagonalen des Parallelepipeds schneiden und halbieren einander in einem Punkt.
- Die Seitenflächen eines geraden Parallelepipeds sind Rechtecke.
Konstruktion des Querschnitts eines Tetraeders und eines Parallelepipeds
Die Schnittebene eines Polyeders kann eine beliebige Ebene
Da das Tetraeder \(4\) Flächen hat, kann die Schnittfläche des Tetraeders ein Dreieck (Abb. 7) oder ein Viereck (Abb. 8) sein.
Abb. 7 Abb. 8
Ein Parallelepiped hat \(6\) Flächen, deshalb kann die Schnittfläche dieses Polyeders ein Dreieck (Abb. 9), ein Viereck (Abb. 10), ein Fünfeck (Abb. 11) oder ein Sechseck (Abb. 12) sein.
 |  |  |  |
| Abb. 9 | Abb. 10 | Abb. 11 | Abb. 12 |
Bei der Konstruktion eines Querschnitts beachten wir:
1. Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, liegt diese Gerade in dieser Ebene.
2. Haben zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt, schneiden sie einander in einer Geraden.
3. Schneidet die Ebene zwei parallele Geraden, sind die Schnittlinien parallel.
Beispiel:
Aufgabe
Man soll den Querschnitt eines Parallelepipeds in einer Ebene, die durch die Punkte \(K\), \(M\) und \(N\) geht, konstruieren.
1. Man zeichnet die Strecke \(MK\) ein, weil die beiden Punkte in einer Ebene liegen;
2. , weil nicht-parallelen Geraden, die in einer Ebene liegen, einander schneiden;
3. Man konstruiert \(XN\), die beiden Punkte liegen in einer Ebene;
4.
5. Man zeichnet \(MP\), die beiden Punkte liegen in einer Ebene;
6. Man zieht durch den Punkt \(N\) in der Ebene der Grundfläche die Gerade 
7. Man verbindet \(N\) und \(L\) und bekommt die Schnittfläche \(MKLNP\).
