2. Regelmäßige Vielecke

 

Zeichnet man in diesen einfachen regelmäßigen Vielecken die Diagonalen ein, erhält man folgende Figuren:

 

Zieht man alle Diagonalen aus einem Eckpunkt, kann jedes \(n\)-Eck in \(n-2\) Dreiecke zerteilt werden. Also ist die Summe aller Innenwinkel durch die Formel $180\mathrm{°}\cdot \left(n-2\right)$ gegeben.

 

Da alle Winkel eines regelmäßigen \(n\)-Ecks gleich groß sind, beträgt die Größe eines der Innenwinkel $\frac{180\mathrm{°}\cdot \left(n-2\right)}{n}$.

Ein regelmäßiges Vieleck kann in einen Kreis eingeschrieben und einem Kreis umschrieben sein, dabei stimmen die Mittelpunkte des umschriebenen und des eingeschriebenen Kreises überein. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks.

 

Der eingeschriebene Kreis berührt alle Seiten des regelmäßigen Vielecks. Der umschriebene Kreis läuft durch alle Eckpunkte des regelmäßigen Vielecks.

 

 

 

Im Dreieck \(OAK\) ist die Seite \(a\) (die Hälfte der Seite \(AK\) ) mit dem Radius des umschriebenen Kreises \(OA = R\) und mit dem Radius des eingeschriebenen Kreises \(OK = r\) verbunden.

 

 

Da das \(n\)-Eck aus \(n\) Dreiecken besteht, die kongruent zu \(OAH\) sind, ist sein Flächeninhalt 

 

$A_{n-\mathit{Eck}}=n\cdot A_{\mathit{OAH}}=n\cdot \frac{\mathit{AH}\cdot r}{2}=\frac{p\cdot r}{2}$.