Theorie:
Dreiecke und Kongruenz
Ein Dreieck wird von drei geraden Linien gebildet, die drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte verbinden.
Die drei Punkte, die verbunden werden, nennt man Ecken und die drei Verbindungslinien nennt man Seiten des Dreiecks.
Im Inneren des Dreiecks spannen sich drei Winkel (die sogenannten Innenwinkel) auf. Die Scheitel dieser Winkel sind die Ecken.
Bezeichnung von Dreiecken:
Das dargestellte Dreieck wird zumeist als bezeichnet (die Eckpunkte werden üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn angegeben).
Bezeichnung von Winkeln:
Der Winkel mit Scheitelpunkt \(A\) kann beispielsweise bezeichnet werden als:
, oder . Bei den letzten beiden Darstellungen ist zu beachten, dass der Scheitelpunkt in der Mitte stehen muss.
Alternativ kann man Winkel auch mit griechischen Kleinbuchstaben wie z.B. \(\alpha, \beta, \gamma,...\) bezeichnen. \(\alpha\) ("alpha") liegt an der Ecke \(A\), \(\beta\) ("beta") bei \(B\) und \(\gamma\) ("gamma") bei \(C\).
Bezeichnung von Seiten:
Die Seite, die einer Ecke \(A, B\) oder \(C\) gegenüber liegt, wird mit \(a, b\) bzw. \(c\) bezeichnet.
Kongruenz:
Können zwei Dreiecke durch Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung oder Verknüpfungen dieser Abbildungen ineinander überführt werden, nennt man sie deckungsgleich, oder zueinander kongruent.
Wir schreiben
Wichtig!
Sind zwei Dreiecke kongruent, dann sind alle einander entsprechenden Seiten und Winkel der beiden Dreiecke gleich groß.
Kongruenz von Dreiecken lässt sich mit Hilfe von fünf Kongruenzsätzen zeigen. Diese Sätze liefern folgende Kriterien für die Kongruenz:
Stimmen zwei Dreiecke in
- den drei Seitenlängen (SSS), oder
- zwei Seitenlängen und der Größe des eingeschlossenen Winkels (SWS), oder
- zwei Seitenlängen und der Größe des Winkels, der der längeren Seite gegenüber liegt (SsW), oder
- einer Seitenlänge und den Größen der beiden anliegenden Winkel (WSW), oder
- einer Seitenlänge und der Größe des anliegenden und des gegenüberliegenden Winkels
überein, dann sind sie kongruent (also stimmen auch in den anderen Seitenlängen und Winkelgrößen überein).
Beispiel: Zweiter Kongruenzsatz
Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seitenlängen und in der Größe des eingeschlossenen Winkels überein, sind sie kongruent.
Wir zeigen die Kongruenz:
1. Da , kann das Dreieck so über das Dreieck gelegt werden, dass der Eckpunkt \(N\) mit dem Eckpunkt \(R\), und die Seiten \(NM\) und \(NK\) mit den Seiten \(RP\) und \(RT\) übereinstimmen.
2. Da , stimmt die Seite \(MN\) mit der Seite \(PR\) überein, auch die Seite \(KN\) mit der Seite \(TR\), sowie die Punkte \(M\) und \(P\), \(K\) und \(T\).
3. Also stimmen auch die Seiten \(MK\) und \(PT\) überein.
Deshalb sind und kongruent.
Hierbei ist auf die Reihenfolge der Buchstaben zu achten: Die einander entsprechenden Eckpunkte stehen an gleicher Stelle.