2. Erster Kongruenzsatz (SSS) und dritter Kongruenzsatz (WSW)

 

Lassen wir uns wieder versuchen die Dreiecke $\mathrm{\Delta }\mathit{MNK}$ und $\mathrm{\Delta }\mathit{PRT}$ übereinander zu legen und damit zu beweisen, dass die Dreiecke übereinstimmen.

Man legt zuerst die gleich langen Strecken \(MK\) und \(PT\) übereinander. Angenommen, die Punkte \(N\) und \(R\) stimmen nicht überein.

Der Punkt \(O\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(NR\). Wir wissen, dass $\mathit{MN}=\mathit{PR}$, $\mathit{KN}=\mathit{TR}$. Die Dreiecke \(MNR\) und \(KNR\) sind gleichschenklige Dreiecke mit der gemeinsamen Basis \(NR\). Deshalb sind ihre Seitenhalbierenden \(MO\) und \(KO\) auch die Höhen, d.h. sie stehen senkrecht auf \(NR\). Die Geraden \(MO\) und \(KO\) stimmen nicht überein, weil die Punkte \(M\), \(K\) und \(O\) nicht auf einer Geraden liegen. Durch den Punkt \(O\) kann man jedoch nur eine Gerade ziehen, die senkrecht auf \(NR\) steht. Man kommt zu einem Widerspruch und wir haben bewiesen, dass die Eckpunkte \(N\) und \(R\) übereinstimmen.
  

 

 

Wie im Beweis des zweiten Kongruenzsatzes muss man sich überzeugen, dass die gegebene Information ausreicht, um die Dreieckskongruenz zu beweisen. Können die Dreiecke übereinander gelegt werden?

1. Da $\mathit{MN}=\mathit{PR}$, stimmen diese Strecken überein, wenn man ihre Anfangspunkte übereinander legt.

2. Da $\measuredangle N=\measuredangle R$ und $\measuredangle M=\measuredangle P$, stimmen die Strahlen \(MK\) und \(NK\) mit den Strahlen \(PT\) und \(RT\) überein.

3. Stimmen die Strahlen überein, stimmen auch ihre Schnittpunkte \(K\) und \(T\) überein.

4. Stimmen alle Eckpunkte der Dreiecke überein, bedeutet das, dass $\mathrm{\Delta }\mathit{MNK}$ und $\mathrm{\Delta }\mathit{PRT}$ übereinander gelegt werden können, d.h. sie sind kongruent.