Theorie:
Im Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüber.
Beweis
Angenommen im Dreieck \(ABC\) ist die Seite \(AB\) länger als die Seite \(AC\).
Wir wollen zeigen, dass \(C >\)\(B\).
Auf der Seite \(AB\) zeichnet man die Strecke \(AD\) ein, die gleich lang wie \(AC\) ist.
Da \(AD < AB\), liegt der Punkt \(D\) zwischen den Punkten \(A\) und \(B\).
Also ist der Winkel \(1\) ein Teil des Winkels \(C\), das bedeutet, dass \(C >\)\(1\).
Der Winkel \(2\) ist der Außenwinkel des Dreiecks \(BDC\), deshalb ist \(2 >\)\(B\).
Es ist \(1 =\)\(2\), weil sie die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks \(ADC\) sind.
Also ist \(C >\)\(1 =\)\(2 >\)\(B\).
Das bedeutet, dass \(C >\)\(B\).
Es gilt auch die Umkehrung:
Im Dreieck liegt dem größten Winkel die längste Seite gegenüber.
Folgerungen
Folgerung 1. Sind zwei Winkel gleich groß, ist das Dreieck gleichschenklig.
Folgerung 2. Sind drei Winkel im Dreieck gleich groß, ist das Dreieck gleichseitig.
Folgerung 3. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypothenuse länger als die Katheten.
Dreiecksungleichung
Jede Seite eines Dreiecks ist kürzer als die Summe der zwei anderen Seiten.
Beweis
Wir betrachten das Dreieck \(ABC\) und beweisen, dass \(AB < AC + BC\).
Dazu verlängert man die Seite \(AC\) und markiert darauf die Strecke \(CD = BC\).
Das Dreieck \(BCD\) ist gleichschenklig, d.h., \(1 = \)\(2\).
Im Dreieck \(ABD\) ist \(ABD >\)\(1\), d.h., \(ABD >\)\(2\).
Da dem größten Winkel die längste Seite gegenüber liegt, ist \(AB < AD\), und es ist auch \(AD =
AC + BC\), d.h., \(AB < AC + BC\).
Folgerung 4. Für beliebige Punkte \(A, B\) und \(C\), die nicht auf einer Geraden liegen, gilt:
\(AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < AB + AC\).
\(AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < AB + AC\).