Theorie:
Satz 1. Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht gestreckten Winkels liegt gleich weit entfernt von beiden Schenkeln des Winkels.
Satz 2. Ein Punkt, der sich innerhalb eines nicht gestreckten Winkels befindet und gleich entfernt von beiden Schenkeln des Winkels liegt, befindet sich auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels.
Satz 3. Jeder Punkt der Mittelsenkrechte einer Strecke liegt gleich weit entfernt von den Endpunkten dieser Strecke.
Satz 4. Der Punkt, der gleich weit entfernt von den Endpunkten der Strecke liegt, liegt auf der Mittelsenkrechte dieser Strecke.
Erster ausgezeichneter Punkt im Dreieck: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks
Satz 5. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt.
\(AN\), \(BM\) sind Winkelhalbierende, \(O\) ist ihr Schnittpunkt. Der Punkt \(O\) ist gleich weit entfernt von den Seiten \(AB\) und \(AC\) und von den Seiten \(BA\) und \(BC\), also liegt er auf der Winkelhalbierenden des Winkels , weil er gleich weit von den Schenkeln des Winkels entfernt liegt.
Dieser Punkt ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks.
Zweiter ausgezeichneter Punkt im Dreieck: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks
Satz 6. Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt.
Man nimmt an, dass der Punkt \(O\) der Schnittpunkt der zwei Mittelsenkrechten der Seiten \(AB\) und \(BC\) ist. Sie liegt gleich entfernt von den Punkten \(A\) und \(B\), und von den Punkten \(B\) und \(C\). Also liegt er auf der Mittelsenkrechte der Seite \(AC\), weil er von ihren beiden Endpunkten gleich weit entfernt liegt.
Dieser Punkt ist der Umkreismittelpunkt. Er liegt innerhalb des Dreiecks mit spitzen Winkeln, und außerhalb des Dreiecks mit einem stumpfen Winkel und auf der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
Dritter ausgezeichneter Punkt im Dreieck: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks
Satz 7. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt, in dem jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 (aus dem Eckpunkt) aufgeteilt wird.
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
Vierter ausgezeichneter Punkt im Dreieck: Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks
Satz 8. Die Höhen eines Dreiecks oder ihre Verlängerungen schneiden einander in einem Punkt.
Der Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks wird Höhenschnittpunkt oder Orthozentrum des Dreiecks genannt.
Im Jahr 1765 bewies der deutsche Mathematiker Leonhard Euler, dass in jedem Dreieck der Höhenschnittpunkt, der Schwerpunkt und der Umkreismittelpunkt auf einer Geraden liegen. Später wurde diese Gerade eulersche Gerade genannt.
In den zwanziger Jahren des 19. Jahrhunderts bewiesen die französischen Mathematiker Jean-Victor Poncelet, Charles Julien Birianchon u.a. den folgenden Satz: die Fußpunkte der Seitenhalbierenden, die Fußpunkte der Höhen und die Mittelpunkte der Strecken der Höhen, die den Höhenschnittpunkt mit den Eckpunkten des Dreiecks verbinden, liegen auf derselben Kreislinie.
