Theorie:
Senkrechte Geraden im Raum
Zwei Geraden stehen auf einander senkrecht (sind orthogonal), wenn der Schnittwinkel zwischen diesen Geraden 90° beträgt.
Im Raum werden nicht nur die einander schneidende, sondern auch windschiefe Geraden orthogonal genannt, weil es sich um einen Winkel handelt, der von diesen Geraden gebildet wird, wenn sie in einer Ebene liegen.
Wenn \(a\) und \(b\) werden im Raum senkrecht aufeinander stehen, werden sie wie in der Ebene bezeichnet: .
Steht eine von zwei parallelen Geraden senkrecht auf eine dritte Geraden, ist die zweite Gerade auch orthogonal zu dieser Geraden.
Orthogonalität zwischen einer Geraden und einer Ebene
Eine Gerade, die eine Ebene schneidet, wird orthogonal zu dieser Ebene genannt, wenn sie zu jeder in dieser Ebene liegenden Geraden orthogonal ist.
Die Orthogonalität zwischen einer Geraden und einer Ebene wird bezeichnet mit: .
Durch einen beliebigen Punkt einer Ebene verläuft orthogonal zu dieser Ebene eine einzige Gerade.
Merkmal der Orthogonalität zwischen einer Geraden und einer Ebene
Verläuft eine Gerade orthogonal zu zwei einander schneidenden Geraden, die in einer Ebene liegen, ist sie orthogonal zu dieser Ebene.
Verläuft eine Gerade orthogonal zu zwei einander schneidenden Geraden, die in einer Ebene liegen, ist sie orthogonal zu dieser Ebene.
Beweis:
Man nimmt an, dass \(a\) eine Gerade ist, die senkrecht auf die Geraden \(b\) und \(c\), die in einer Ebene liegen, steht. Man zieht die Gerade \(a\) durch den Schnittpunkt \(A\) der Geraden \(b\) und \(c\). Man soll beweisen, dass die Gerade \(a\) orthogonal zu der Ebene, d.h. zu jeder Geraden in dieser Ebene, ist.
1. Man zieht eine beliebige Gerade \(x\) durch den Punkt \(A\) in der Ebene und zeichnet an, dass sie orthogonal zu der Geraden \(a\) ist. Man zeichnet in der Ebene eine beliebige Gerade, die nicht durch den Punkt \(A\) verläuft und die die Geraden \(b\), \(c\) und \(x\) schneidet. Man nimmt an, dass die Schnittpunkte dieser Geraden die Punkte \(B\), \(C\) und \(X\) sind.
2. Auf der Geraden \(a\) trägt man vom Punkt \(A\) in verschiedene Richtungen die gleichen Strecken \(AM\) und \(AN\).
3. Das Dreieck \(MCN\) ist gleichschenklig, weil die Strecke \(AC\) die Höhe und die Seitenhalbierende (gemäß der Konstruktion \(AM=AN\)) ist. Deshalb ist das Dreieck \(MBN\) auch gleichschenklig.
4. Also sind die Dreiecke \(MBC\) und \(NBC\) kongruent.
5. Aus der Kongruenz der Dreiecke \(MBC\) und \(NBC\) folgt die Kongruenz der Winkel \(MBX\) und \(NBX\) und der Winkel \(MBX\) und \(NBX\).
6. Aus der Kongruenz der Seiten \(MX\) und \(NX\) dieser Dreiecke folgt, dass das Dreieck \(MXN\) gleichschenklig ist. Deshalb ist seine Seitenhalbierende \(XA\) auch die Höhe. Das bedeutet aber, dass die Gerade \(x\) senkrecht auf \(a\) steht. Gemäß der Definition verläuft die Gerade \(a\) orthogonal zu der Ebene.
Eigenschaften von orthogonalen Geraden und Ebenen
1. Ist eine Ebene orthogonal zu einer der zwei parallelen Geraden, ist sie auch orthogonal zur zweiten Geraden.
2. Zwei Geraden, die orthogonal zu derselben Ebene sind, sind zueinander parallel.