Theorie:
Betrachten wir ein Anwendungsbeispiel zur Approximation von Binomialverteilungen durch Normalverteilungen.
Beispiel:
Der Prüfungsbogen einer Aufnahmeprüfung besteht aus \(150\) Single-Choice-Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) mindestens ein Drittel der Fragen richtig zu beantworten
b) zwischen \(25\) und \(50\) Fragen richtig zu beantworten
wenn rein zufällig angekreuzt wird?
Halten wir zunächst fest, was wir gegeben haben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) mindestens ein Drittel der Fragen richtig zu beantworten
b) zwischen \(25\) und \(50\) Fragen richtig zu beantworten
wenn rein zufällig angekreuzt wird?
Halten wir zunächst fest, was wir gegeben haben.
- Da jede Frage entweder richtig oder falsch beantwortet werden kann (zwei mögliche Ausgänge), handelt es sich um eine Binomialverteilung.
- Bei jeder Frage beträgt die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort \(p = 1/4 = 0,25\).
- Die Gesamtzahl der Fragen ist \(n = 150\).
Daraus können wir bereits die Parameter für unsere Normalverteilung bestimmen:
\(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0,25 = 37,5\)
\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{150 \dot 0,25 \dot 0,75} = \sqrt{28,125} \approx 5,30\)
Nun können wir genau so vorgehen, wie wir es bereits bisher bei Normalverteilungen gemacht haben:
- Umrechnen der gefragten \(x\)-Werte auf \(z\)-Werte der Standardnormalverteilung
- Nachschlagen des Wertes \(\Phi(z)\)
- Interpretation entsprechend der konkreten Fragestellung.
a) Hier ist \(x = 50\) (ein Drittel der Fragen). Wir erhalten
\(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{50- 37,5}{5,30} = 2,35\) (gerundet) und
\(\Phi(z) = \Phi(2,35) = 0,99061\).
Da die Wahrscheinlichkeit für mindestens diesen Wert gefragt ist, gilt
\(P(X \geq 50) = 1 - \Phi(z) = 1 - 0,99061 = 0,00939 = 0,939 \%\)
b) Hier haben wir zwei \(x\)-Werte:
\(x_1 = 25 \rightarrow z_1 = -2,36\) und
\(x_2 = 50 \rightarrow z_2 = 2,36\).
Wir sehen, dass \(z_1 = -z_2\), daher gilt
\(\Phi(z_1) = 1 - \Phi(-z_1)\)
Wir erhalten:
\(\Phi(z_2) = 0,99086\).
Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall ist
\(P(x_1 < X < x_2) = 2 \Phi(z_2) - 1 = 2\cdot 0,99086 - 1 = 0,98172 = 98,172 \%\).