Substitution im Integral — Theoretisches Material. Mathematik, 12. Schulstufe.

Häufig ist es bei der Berechnung von Integralen praktisch, neue Variablen einzuführen.

Anstatt \(x\) kann man eine neue Variable - nennen wir sie \(t\) - benutzen, die zu \(x\) in einem (je nach Situation wählbaren) Zusammenhang steht. Wichtig ist, dass nicht nur das \(x\) selbst, sondern auch der Integraloperator \(dx\) mittransformiert wird:

Wenn

x = φ (t)

, dann

dx = φ' (t) dt

Beispiel:

\begin{array}{l} \int \frac{dx}{{(x - 2)}^{5}} \\ [\begin{array}{l} x - 2 = t \\ x = t + 2 \\ dx = (t + 2)' dt = dt \end{array}] \\ \int \frac{dx}{{(x - 2)}^{5}} = \int \frac{dt}{t^{5}} = - \frac{1}{4 t^{4}} + C = - \frac{1}{4 {(x - 2)}^{4}} + C \end{array}

\begin{array}{l} \int \frac{x^{2} dx}{x^{3} + 13} \\ [\begin{array}{l} t = x^{3} + 13 \\ x^{2} dx = \frac{(x^{3} + 13)' dx}{3} = \frac{dt}{3} \end{array}] \\ \int \frac{x^{2} dx}{x^{3} + 13} = \int \frac{dt}{3 t} = \frac{\ln |t|}{3} + C = \frac{\ln |x^{3} + 13|}{3} + C \end{array}

\begin{array}{l} \int \sin^{5} x \cos x dx \\ [\begin{array}{l} t = \sin x \\ dt = (\sin x)' dx = \cos x dx \end{array}] \\ \int \sin^{5} x \cos x dx = \int t^{5} dt = \frac{t^{6}}{6} + C = \frac{\sin^{6} x}{6} + C \end{array}

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