Theorie:

Die Zahl ϵ=ca ("Epsilon"), wobei \(2a\) die große Achse der Ellipse, und \(2c\) der Abstand zwischen den Brennpunkten ist, wird die Exzentrizität der Ellipse genannt. Sie liegt zwischen \(0\) und \(1\). Je näher sie bei \(0\) liegt, umso eher ähnelt die Ellipse einem Kreis.
Ist Mx;y ein beliebiger Punkt der Ellipse, werden die Strecken F1M=r1 und F2M=r2 Brennstrahlen des Punktes \(M\) genannt.
elipse.PNG
 
Wichtig!
Die Längen der Brennstrahlen können mit den Formeln r1=a+ϵx und r2=aϵx berechnet werden.
 
Beweis:  
Man drückt aus der Gleichung der Ellipse den \(y\)-Wert aus (wenn der \(x\)-Wert bekannt ist):
x2a2+y2b2=1y2b2=1x2a2y=baa2x2
 
Danach drückt man die Länge des ersten Brennstrahles aus, dazu benutzt man die Relation a2=b2+c2:
r1=xc2+y02=x+c2+y2==x2+2cx+c2+ba2a2x2==x2+2cx+c2+b2b2a2x2==a2b2a2x2+2cx+c2+b2==c2a2x2+2cx+a2=cax+a2=cax+a
Dabei ist cax+acaa+a=c+a=ac0, und deshalb r1=cax+a=ϵx+a=a+ϵx
 
Auf dieselbe Weise berechnet man auch die Länge des zweiten Brennstrahls r2=aϵx.