Definition und Berechnung der n-ten Ableitung — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Die abgeleitete Funktion

f^{'} (x)

ist ebenfalls eine Funktion. Also kann man ihre Ableitung bestimmen.

Man nennt

f^{'} (x)

erste Ableitung von

f (x)

Die Ableitung von

f^{'} (x)

heißt zweite Ableitung.

Die Ableitung der zweiten Ableitung heißt dritte Ableitung usw.

Die Ableitungen ab der zweiten Ableitung nennt man höhere Ableitungen und bezeichnet sie mit

y'' (manchmal y^{(2)}), y''' (manchmal y^{(3)}), y^{(4)}, y^{(5)}, ..., y^{(n)}, ...

Manchmal werden folgende Bezeichnungen verwendet:

\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}, ..., \frac{d^{n} y}{d x^{n}}, ...

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung nach der Zeit. Das ist die physikalische (mechanische) Bedeutung der zweiten Ableitung.

Die $n$-te Ableitung ist die Ableitung der $(n-1)$. Ableitung: $y^{(n)} = (y^{(n - 1)})'$ .

Beispiel:

\begin{array}{l} y = x^{5} \\ y' = (x^{5})' = 5 x^{4} \\ y'' = (y')' = (5 x^{4})' = 20 x^{3} \\ y^{(3)} = (y'')' = (5 \cdot 4 x^{3})' = 60 x^{2} \\ y^{(4)} = (y^{(3)})' = (60 x^{2})' = 120 x^{} \\ y^{(5)} = (y^{(4)})' = (120 x)' = 120 \\ y^{(6)} = y^{(7)} = y^{(8)} = ... = 0 \end{array}

(e^{x})' = e^{x}

, deshalb sind alle Ableitungen von

y = e^{x}

gleich:

y' = y'' = y^{(3)} = y^{(4)} = y^{(5)} = ... = e^{x}

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3. Definition und Berechnung der n-ten Ableitung