Theorie:
Wir haben bereits gesehen, dass die Addition zweier komplexer Zahlen als Vektoraddition im \(\mathbb R^2\) interpretiert werden kann. Nun besitzt die Multiplikation ebenfalls eine geometrische Interpretation, die man besonders gut mit Hilfe der Polardarstellung sieht.
Betrachten wir zwei komplexe Zahlen in Polardarstellung:
\(z_1=(3;59^\circ)\) und \(z_2=(5; 84^\circ)\).
In kartesischer Darstellung sind sie:
\(z_1=3\cos59^\circ+3i\sin59^\circ,\quad z_2=5\cos84^\circ+5i\sin84^\circ.\)
Multipliziert man die beiden gemäß der Rechenregeln für komplexe Zahlen, so bekommt man
\(z_1\cdot z_2 = 3\cdot 5\cdot(\cos59^\circ\cos84^\circ-\sin59^\circ\sin84^\circ)+i\cdot 3\cdot 5\cdot(\sin59^\circ\cos84^\circ + \cos59^\circ\sin84^\circ).\)
Die trigonometrischen Ausdrücke in den Klammern kann man jeweils mit den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus vereinfachen:
\(z_1\cdot z_2=3\cdot 5\cdot(\cos(59^\circ+84^\circ)+i\sin(59^\circ+84^\circ)).\)
Multipliziert man zwei komplexe Zahlen, so multiplizieren sich die Beträge, und die Argumente addieren sich!
\((r_1;\phi_1)\cdot(r_2;\phi_2)=(r_1\cdot r_2; \phi_1+\phi_2)\).
Beispiel:
Multiplizieren wir \(1+i\) (mit der Polardarstellung \((\sqrt 2;\, 45^\circ)\)) mit \(3i\) (Polardarstellung \((3;\, 90^\circ)\): Das Resultat ist \(3i-3=-3+3i\). In der Polardarstellung hat diese Zahl den Betrag \(3\sqrt 2\) und das Argument \(135^\circ = 90^\circ+45^\circ\).
Addieren sich die Argumente zu mehr als \(360^\circ\) auf, so sollte man von dem Ergebnis \(360^\circ\) abziehen, damit das Argument wieder zwischen \(0\) und \(360^\circ\) liegt.
Beispiel:
Multiplizieren wir die beiden in der Polardarstellung gegebenen Zahlen \((2; 244^\circ)\) und \((3; 176^\circ)\), so erhalten wir für das Produkt \((6; 420^\circ)\). Die korrekte Polardarstellung des Produkts lautet dann \((6; 60^\circ)\).
Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag \(1\) ist also nichts anderes als die Rotation um den Ursprung, und der Rotationswinkel ist gleich dem Argument.
Beispiel:
Die komplexe Zahl \(z=\frac 1{\sqrt2}+i\frac 1{\sqrt2}\) hat die Polardarstellung \((1; 45^\circ)\). Multipliziert man eine beliebige komplexe Zahl \(y\) mit \(z\), so ändert sich deren Betrag nicht, nur das Argument vergrößert sich um \(45^\circ\). Das Produkt \(z\cdot y\) ist also \(y\), um \(45^\circ\) gegen den Urzeigersinn weitergedreht.
Dividiert man eine komplexe Zahl \(z_1=(r_1;\phi_1)\) in Polardarstellung durch eine andere komplexe Zahl \(z_2=(r_2;\phi_2)\) in Polardarstellung, so lautet das Resultat:
\(z_1:z_2=\left(\frac {r_1}{r_2};\, \phi_1-\phi_2\right)\).
Falls beim Argument ein Wert kleiner null herauskommt, sollte man hier \(360^\circ\) dazuzählen, damit das Resultat wieder ein Argument zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) hat.