Theorie:
In weiterer Folge werden wir uns noch näher mit der geometrischen Anschauung von komplexen Zahlen befassen. Dazu werden wir auch die Winkelfunktionen benötigen.
Abb.: Trigonometrische Funktionen im Einheitskreis.
Wir wollen uns an Hand obiger Skizze die Winkelfunktionen \(\sin\) und \(\cos\) in Erinnerung rufen. Zeichnen wir einen Radius im Einheitskreis ein, hier die Strecke \(\overline{0D}\). Die Strecke habe den Winkel \(x\) zur horizontalen Achse. Betrachten wir das rechtwinkelige Dreieck \(\triangle 0CD\), mit rechtem Winkel bei \(C\).
- \(\cos x\) ist definiert als die Länge der Ankathete.
- \(\sin x\) ist definiert als die Länge der Gegenkathete.
Für die Winkelfunktionen \(\sin\) und \(\cos\) gibt es sehr nützliche Additionstheoreme:
Seien \(\phi_1,\,\phi_2\) zwei reelle Zahlen (Winkel). Dann gilt
- \(\sin(\phi_1+\phi_2)=\sin(\phi_1)\cdot\cos(\phi_2)+\cos(\phi_1)\cdot\sin(\phi_2)\) (Merkregel: "Sico-plus-Cosi"),
- \(\cos(\phi_1+\phi_2)=\cos(\phi_1)\cdot\cos(\phi_2)-\sin(\phi_1)\cdot\sin(\phi_2)\) (Merkregel: "Coco-minus-Sisi").
Beispiel:
Nehmen wir zum Beispiel \(\phi_1=37^\circ\) und \(\phi_2=84^\circ\). Dann gilt:
- \(\sin( 37^\circ+84^\circ)=\sin 121^\circ \,\approx \,0,857\).
- Alternativ berechnen wir
\(\sin( 37^\circ+84^\circ)=\sin 37^\circ\cos84^\circ+\cos37^\circ\sin84^\circ \,\approx\,0,602\cdot 0,105+0,799\cdot0,995\approx0,857\).
Quellen:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Winkelfunktionen_Einheitskreis.svg