Theorie:
Eine komplexe Zahl wird immer eindeutig durch ihren Real- und ihren Imaginärteil bestimmt. So ist die komplexe Zahl \(z=3+2i\) eindeutig durch das Paar \((3;2)\) bestimmt. Das erinnert stark an einen Vektor im \(\mathbb R^2\)! Wir könnten also in der Ebene \(\mathbb R^2\) den Punkt \((3;2)\) mit der komplexen Zahl identifizieren.
Ganz allgemein kann man jede komplexe Zahl \(z=a+ib\) mit dem Punkt \((a;b)\) identifizieren, und in der Ebene einzeichnen. Auf der horizontalen Achse liest man den Reallteil ab, und auf der vertikalen Achse den Imaginärteil.
Diese Visualisierung der komplexen Zahlen \(\mathbb C\) nennt man Gaußsche Zahlenebene, benannt nach C.F. Gauß.
C.F.Gauß
Wichtig!
Natürlich ist die komplexe Zahl nicht gleich diesem Punkt. Es ist aber eine Möglichkeit der Veranschaulichung - so wie man die reellen Zahlen als Punkte auf einem Maßband veranschaulichen kann.
Manche Konzepte der Vektorrechnung lassen sich damit auf komplexe Zahlen übertragen:
Der Betrag einer komplexen Zahl \(z\) ist definiert durch \(\sqrt{z\cdot\bar z}\), man schreibt \(|z|\). Ist \(z=a+ib\), dann ist \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Betrachtet man \(z\) als "Vektor" in der Gaußschen Zahlenebene, so ist \(\sqrt{a^2+b^2}\) nach dem Satz von Pythagoras genau die anschauliche Länge dieses "Vektors".
Auch die Addition von komplexen Zahlen macht genau das, was wir von unserer Anschauung her erwarten würden. So, wie man zwei Vektoren komponentenweise addiert, so addieren sich bei komplexen Zahlen auch die Real- und die Imaginärteile getrennt.
Beispiel:
Addition komplexer Zahlen:
\((2+4i)+(5-2i) \,=\, (2+5) + (4-2)i\,=\, 7+2i.\)
Addition von Vektoren:
\(\begin{pmatrix} 2\\4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix} \,=\, \begin{pmatrix} 2+5\\4-2\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix} 7\\2\end{pmatrix}\).
Wir kommen also auf das Gleiche, egal ob wir zwei komplexe Zahlen nach den Additionsregeln addieren, oder ob wir sie als Vektoren in der Zahlenebene interpretieren, und als Vektoren addieren.
Quellen:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg