Theorie:
Neben der kartesischen Darstellung und der Polardarstellung für komplexe Zahlen gibt es noch eine dritte praktische Möglichkeit, komplexe Zahlen darzustellen: Die Exponentialform. Grundlage dafür ist die sogenannte Eulersche Formel
\({e}^{i\phi}=\cos \phi +i\sin \phi\).
Die Konstante \(e\) auf der linken Seite ist die Eulersche Zahl, und die entsprechende Exponentialfunktion ist beispielsweise über die Potenzreihe
\(\displaystyle e^{x}=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\)
für alle \(x\in \mathbb C\) definiert. Das "!" ist die Faktorielle, z.B. \(5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\). Wichtig ist hier, dass das Argument \(\phi\) nicht in Grad, sondern in Radiant verwendet werden muss. Das bedeutet auch, dass die trigonometrischen Funktionen auf der rechten Seite auch entprechend gewählt werden müssen - und zwar nicht \(360^\circ\)-periodisch, sondern \(2\pi\)-periodisch.
Ein voller Umlauf von \(360^\circ\) entspricht \(2\pi\) Radiant. Entsprechend hat man die Umrechnungsformel
Grad \(\to\) Radiant: \(\displaystyle \frac{[\text{Grad}]\cdot \pi}{180}=[\text{Radiant}].\)
Beispiel:
So ist ein Winkel von \(45^\circ\) dasselbe wie \(\frac \pi 4\) Radiant. Und so ist \(\sin 45^\circ=\sin \frac\pi 4\). Man kann sich vorstellen, dass das Gradsymbol "\(^\circ\)" die Umrechnung von Grad in Radiant symbolisiert.
Mit Hilfe der Eulerschen Formel kann man eine sehr praktische Darstellung von komplexen Zahlen finden.
Sei \((r;\phi)\) die Polardarstellung einer komplexen Zahl \(z\), wobei das Argument \(\phi\) bereits in Radiant gegeben ist. Dann lautet die Exonentialdarstellung von \(z\)
\(\displaystyle z=r\cdot e^{i\phi}\).
Und mit der Eulerschen Formel gilt der folgende Zusammenhang zur kartesischen Darstellung:
\(r\cdot e^{i\phi}=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi)\).
Die Exponentialdarstellung ist also eine handlichere Variante der Polardarstellung für komplexe Zahlen. Ein großer Vorteil besteht darin, dass das Rechnen in Exponentialdarstellung übersichtlicher ist als in der Polardarstellung. Das liegt daran, dass die Rechenregeln für Exponentialfunktionen auch hier gelten und wir sie verwenden können. So folgt daraus für die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen \(z_1=r_1e^{i\phi_1}\) und \(z_2=r_2e^{i\phi_2}\):
\(z_1\cdot z_2=r_1e^{i\phi_1}\cdot r_2e^{i\phi_2} = r_1\cdot r_2\cdot e^{i(\phi_1+\phi_2)}\).
D.h. die uns bereits bekannte Regel, dass sich bei Multiplikation von zwei komplexen Zahlen die Beträge multiplizieren und die Argumente addieren, folgt hier ganz leicht aus den Rechenregeln für Exponentialfunktionen! Dasselbe gilt auch für Division, Potenzieren und Wurzelziehen:
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\phi_1 - \phi_2)}\)
\(z_1^a = r_1^a \cdot e^{i a \phi_1}\)
\(\sqrt{z_1} = \sqrt{r_1} \cdot e^{\frac{i \phi_1}{2}}\).
Ob man die Exponentialdarstellung oder doch lieber die Polardarstellung von komplexen Zahlen bevorzugt, bleibt jedem selber überlassen - für viele mag die Exponentialdarstellung jedoch intuitiver und übersichtlicher sein. Jedoch sollte man dabei nie vergessen:
Wichtig!
In der Exponentialdarstellung ist das Argument immer in Radiant zu verwenden!
Da die Exponentialdarstellung eng mit der Polardarstellung zusammenhängt, ist die Umrechnung
Exponentialdarstellung \(\leftrightarrow\) kartesische Darstellung
analog zur Umrechnung
Polardarstellung \(\leftrightarrow\) kartesische Darstellung.