16. n-te Einheitswurzeln

Für eine natürliche Zahl \(n\) ist eine \(n\)-te Einheitswurzel eine komplexe Zahl \(z\) mit der Eigenschaft, dass \(z^n=1\). Es gibt für jedes \(n\) immer genau \(n\) unterschiedliche Einheitswurzeln. Die mit dem kleinsten Argument ist \(1\) selber, das Argument ist hier null. Die anderen kann man dann mit aufsteigendem Argument sortieren, und erhält die geordnete Liste \(\{z_0, z_1, \ldots, z_{n-1}\}\), mit \(z_0=1\). Diese \(n\) komplexen Zahlen bilden ein regelmäßiges \(n\)-Eck in der Gaußschen Zahlenebene.

 

Die \(5\)-ten Einheitswurzeln in der Gaußschen Zahlenebene. Sie bilden die Ecken eines regelmäßigen Fünfecks. 

Gesucht ist nun die 19-te Einheitswurzel $z_{12}$, das ist also diejenige Einheitswurzel mit dem 13.-kleinsten Argument. (Hinweis: Das Argument von ${z_{12}}^{19}$ muss ein ganzzahliges Vielfaches von \(360^\circ\) sein.)

 

Antwort (in kartesischer Darstellung, runde je auf 2 Nachkommastellen): $i+i\cdot i$