14. Logarithmische Spirale

 

\(c\) sei im Folgenden eine positive Konstante aus \(\mathbb R\). Für jedes Argument \(\phi\in\mathbb R\) kann man die folgende komplexe Zahl in Polardarstellung definieren:

 

$\left({\mathrm{4,5}}^{\frac{c\cdot \mathrm{\varphi }}{100}};\mathrm{\varphi }\right)$.

 

Der Betrag hängt also vom Winkel ab. Die Funktion \(s:\mathbb R\to \mathbb C: \phi\mapsto \)$\left({\mathrm{4,5}}^{\frac{c\cdot \mathrm{\varphi }}{100}};\mathrm{\varphi }\right)$ definiert eine Spirale in der Gaußschen Zahlenebene, eine sogenannte logarithmische Spirale. Beachte, dass es Sinn macht, dass hier das Argument nicht auf das Intervall \([0,360)\) eingeschränkt wird.

 

Der Punkt (in Polardarstellung gegeben) \((1;0^\circ)\) liegt immer auf der Spirale. Bestimme \(c>0\) so, dass der nächste Schnittpunkt der Spirale mit der positiven reellen Achse bei \((\)3\(; 0^\circ)\) liegt.

 

Antwort (runde auf \(2\) Nachkommastellen):  $c=i$