Theorie:
Wir erinnern uns an die Binomischen Formeln:
- \(x^2-a^2=(x-a)\cdot(x+a)\)
- \(x^3-a^3=(x-a)\cdot(x^2+x\cdot a+a^2)\)
Es fällt auf, dass in beiden Fällen \(x-a\) ein Linearfaktor der linken Seite ist. Dies lässt sich in der Tat auf höhere Potenzen verallgemeinern:
Sei \(k\ge 1\) eine beliebige natürliche Zahl. Dann ist \(x-a\) ein Linearfaktor des Polynoms \(x^k-a^k\).
Für jede natürliche Zahl \(k\ge 1\) ist
\(x^k-a^k=(x-a)\cdot (x^{k-1}+a\cdot x^{k-2}+a^2\cdot x^{k-3}+\cdots+a^{k-2}\cdot x+a^{k-1})\).
\(x^k-a^k=(x-a)\cdot (x^{k-1}+a\cdot x^{k-2}+a^2\cdot x^{k-3}+\cdots+a^{k-2}\cdot x+a^{k-1})\).