Theorie:
Man findet leicht Polynome, die man als Produkt von Polynomen niederen Grades schreiben kann, zum Beispiel:
\( = (\)\()\cdot(\)\() \).
Die beiden Faktoren auf der rechten Seite, und , nennt man Linearfaktoren des Polynoms . Wir bemerken, dass 3 und 5 Nullstellen des Polynoms sind. Um die Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren zu finden, hätten wir folgendermaßen vorgehen können:
- Finde eine Nullstelle (mit Vieta, quadratischer Lösungsformel, Ausprobieren, ...). Wir finden beispielsweise die Nullstelle 3.
- ist nun ein Linearfaktor des Polynoms.
- Um den zweiten Faktor zu finden, verwenden wir Polynomdivision:
\((\)\() : (\)\() = (\)\()\).
Man kann das für Polynome beliebigen Grades verallgemeinern.
Sei \(p(x)\) ein Polynom, und \(a\) eine reelle Zahl. Wenn es ein Polynom \(q(x)\) gibt, sodass
\(p(x)= (x-a)\cdot q(x)\)
gilt, so heißt \((x-a)\) reeller Linearfaktor von \(p(x)\).
\(p(x)= (x-a)\cdot q(x)\)
gilt, so heißt \((x-a)\) reeller Linearfaktor von \(p(x)\).
Ein Linearfaktor von \(p(x)\) ist also ein Polynom vom Grad 1, durch das \(p(x)\) ohne Rest dividiert werden kann! Man nennt diesen Faktor "linear", weil er linear in \(x\) ist, im Sinne einer linearen Funktion. Polynome vom Grad 2 oder höher sind nicht mehr linear, da die Variable \(x\) auch in höheren Potenzen vorkommt.
Für ein Polynom \(p(x)\) ist \((x-a)\) genau dann ein reeller Linearfaktor, wenn \(a\) eine reelle Nullstelle von \(p(x)\) ist, d.h. \(p(a)=0\).
Beispiel:
Betrachten wir das Polynom \(p(x) = \). Durch Ausprobieren finden wir rasch, dass \(a= -\)2 eine Nullstelle ist: \(p(-\)2\()=\)\(=0\). Gemäß obigem ist somit \((x+\)2\()\) ein Linearfaktor von \(p(x)\). Um den anderen Faktor der entsprechenden Zerlegung von \(p(x)\) zu finden, führen wir folgende Polynomdivision durch:
\((\) \(): (x+\)2\() = \).
Es bleibt kein Rest übrig. Wir können also schreiben:
\(=(x+\)2\()\cdot (\) \()\).
\((\) \(): (x+\)2\() = \).
Es bleibt kein Rest übrig. Wir können also schreiben:
\(=(x+\)2\()\cdot (\) \()\).
Seien \(p(x)\) und \(q(x)\) Polynome, so dass \(p(x)\) von \(q(x)\) ohne Rest geteilt wird. Dann gilt: Wenn \((x-a)\) ein Linearfaktor von \(q(x)\) ist, so ist \((x-a)\) auch ein Linearfaktor von \(p(x)\).
Das ist nützlich, wenn man Linearfaktoren/Nullstellen von Polynomen mit hohem Grad sucht:
- Finde eine Nullstelle \(a\) des Polynoms \(P(x)\).
- Dividiere \(P(x)\) durch den Linearfaktor \(x-a\). Es bleibt kein Rest übrig, und wir erhalten ein Polynom \(Q(x)\), dessen Grad um eins kleiner ist als der von \(P(x)\).
- Suche nun Nullstellen von \(Q(x)\) - das ist ev. leichter, da \(Q(x)\) einen kleineren Grad hat als \(P(x)\). Falls \(Q(x)\) bereits von Grad \(2\) ist, könnte man die Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden, um die restlichen Nullstellen zu finden.
Wichtig!
Nicht jedes Polynom besitzt überhaupt reelle Nullstellen!
Zum Beispiel hat \(x^2+1\) keine reellen Nullstellen, im Gegensatz zu \(x^2-1\). Wir werden uns mit diesem Thema im nächsten Kapitel eingehender beschäftigen.