Theorie:
Monotonieverhalten
Die Funktion \(y=f(x)\) wird (streng) monoton wachsend auf der Menge genannt, wenn für beliebige Werte und der Menge \(X\) mit die Ungleichung erfüllt ist.
Die Funktion \(y=f(x)\) wird (streng) monoton fallend auf der Menge genannt, wenn für beliebige Werte und der Menge \(X\) mit die Ungleichung erfüllt ist.
Wichtig!
Anders gesagt:
Die Funktion steigt (wächst), wenn dem größeren Wert des Argumentes der größere Funktionswert entspricht;
Die Funktion fällt (sinkt), wenn dem größeren Wert des Argumentes der kleinere Funktionswert entspricht.
Beschränktheit
Die Funktion \(y=f(x)\) ist auf der Menge nach unten beschränkt, wenn alle Werte dieser Funktion größer als eine bestimmte Zahl sind, dh., wenn es eine Zahl \(m\) gibt, sodass für einen beliebigen Wert die Ungleichung erfüllt ist. Diese Zahl \(m\) heißt untere Schranke der Funktion (in diesem Bereich).
Die Funktion \(y=f(x)\) ist auf der Menge nach oben beschränkt, wenn alle Werte dieser Funktion kleiner als eine bestimmte Zahl sind, dh., wenn es eine Zahl \(M\) gibt, sodass für den beliebigen Wert die Ungleichung erfüllt ist. Diese Zahl \(M\) heißt obere Schranke der Funktion (in diesem Bereich).
Ist eine Funktion nach oben und nach unten beschränkt, so nennt man sie beschränkt.
Extremwerte
Die Zahl \(y_{min}\) wird minimaler Wert der Funktion \(y=f(x)\) auf der Menge genannt, wenn
1) es (mindestens) einen Punkt gibt, mit ;
2) für jeden beliebigen Wert die Ungleichung erfüllt ist.
Die Zahl \(y_{max}\) nennt man maximalen Wert der Funktion \(y=f(x)\) auf der Menge , wenn
1) es (mindestens) einen Punkt gibt, sodass ;
2) für jeden beliebigen Wert die Ungleichung erfüllt ist.
2) Besitzt die Funktion einen Wert , ist sie nach oben beschränkt.
3) Ist die Funktion nicht nach unten beschränkt, besitzt sie kein .
4) Ist die Funktion nicht nach oben beschränkt, besitzt sie kein .
Nullstellen
Eine Nullstelle der Funktion \(y=f(x)\) ist ein Wert des Arguments, für den die Funktion null wird, dh., für den gilt, dass \(f(x_0)=0\).