2. Eigenschaften wichtiger Funktionen

Theorie:

Lineare Funktionen y=kx+d
Wichtig!
Der Funktionsgraph y=kx+d ist eine Gerade.
Eigenschaften der Funktion y=kx+d
1) D(y)=−∞;+∞;
2) sie steigt für \(k > 0\) und fällt für \(k < 0\);
3) sie ist nicht nach unten oder nach oben beschränkt (außer für \(k=0\));
4) sie hat keinen maximalen oder minimalen Wert (außer für \(k=0\));
5) Die Funktion ist stetig.
6) W(y)=−∞;+∞ (außer für \(k=0\)).
 
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Die Funktion y=kx2,k≠0
Wichtig!
Der Funktionsgraph vn y=kx2,k≠0 ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt im Koordinatenursprung. Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn \(k > 0\) und nach unten geöffnet, wenn \(k < 0\).
Eigenschaften der Funktion y=kx2,k≠0
Im Fall \(k > 0\):
1) D(y)=−∞;+∞;
2) sie fällt auf dem Strahl −∞;0 und wächst auf dem Strahl 0;+∞;
3) sie ist nach unten beschränkt;
4) es ist ymin=0, es gibt keinen maximalen Wert;
5) die Funktion ist stetig;
6) W(y)=0;+∞;
7) sie ist eine konvexe Funktion.
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Die Eigenschaften der Funktion y=kx2,k≠0
Im Fall \(k < 0\):
1) D(y)=−∞;+∞;
2) sie steigt auf dem Strahl −∞;0 und fällt auf dem Strahl 0;+∞;
3) sie ist nach oben beschränkt;
4) sie hat keinen kleinsten Wert, ymax=0;
5) die Funktion ist stetig;
6)W(y)=−∞;0;
7) sie ist eine konkave Funktion.
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Die Funktion y=kx
Wichtig!
Der Funktionsgraph ist eine Hyperbel.
Eigenschaften der Funktion:
1) D(y)=(−∞;0)∪(0;+∞);
2) wenn \(k>0\), fällt die Funktion auf dem Strahl (−∞;0) und auf dem Strahl (0;+∞);  für \(k<0\) steigt die Funktion auf dem Strahl (−∞;0) und auf dem Strahl (0;+∞);
3) sie ist nicht nach unten und nach oben beschränkt;
4) sie hat keinen größten und keinen kleinsten Wert;
5) sie ist stetig auf dem Strahl (−∞;0) und auf dem Strahl (0;+∞);
6)W(y)=(−∞;0)∪(0;+∞).
 
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Die Funktion y=x
Wichtig!
Der Graph der Funktion y=x ist ein Zweig einer Parabel.
Eigenschaften der Funktion:
1) D(y)=0;+∞;
2) sie steigt;
3) sie ist nach unten beschränkt;
4)ymin=0, sie hat keinen größten Wert;
5) die Funktion ist stetig;
6) W(y)=0;+∞;
7) sie ist eine konkave Funktion.
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Die Funktion y=x
Wichtig!
Der Graph der Funktion ist die Vereinigung zweier Strahlen: y=x,x≥0 und y=−x,x≤0.
Eigenschaften der Funktion
1) D(y)=−∞;+∞;
2) sie fällt auf dem Strahl −∞;0 und steigt auf dem Strahl 0;+∞;
3) sie ist nach unten beschränkt;
4) ymin=0, sie hat keinen größten Wert;
5) sie ist stetig;
6) W(y)=0;+∞.
 
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Die Funktion y=ax2+bx+c
Wichtig!
Der Funktionsgraph y=ax2+bx+c ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt x0;y0, wobei x0=−b2a,y0=fx0=ax02+bx0+c. Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn \(a > 0\), und nach unten geöffnet, wenn \(a < 0\).
Eigenschaften der Funktion y=ax2+bx+c
Im Fall \(a > 0\):
1) D(y)=−∞;+∞;
2) sie fällt auf dem Strahl −∞;−b2a und steigt auf dem Strahl −b2a;+∞;
3) sie ist nach unten beschränkt;
4)ymin=y0, es gibt keinen größten Wert;
5) die Funktion ist stetig;
6) W(y)=y0;+∞;
7) sie ist eine konvexe Funktion.
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Im Fall \(a < 0\):
1) D(y)=−∞;+∞;
2) sie steigt auf dem Strahl −∞;−b2a und fällt auf dem Strahl −b2a;+∞;
3) sie ist nach oben beschränkt;
4) einen kleinsten Wert gibt es nicht, ymax=y0;
5) die Funktion ist stetig;
6) W(y)=−∞;y0;
7) sie ist eine konkave Funktion.
 
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