Theorie:
Negative Zahlen und höhere Wurzeln
Wir haben gesehen, dass die Quadratwurzel negativer Zahlen nicht definiert ist, weil etwa die Gleichung \(x^2=-1\) in den reellen Zahlen keine Lösung hat.
Bei Wurzeln ungerader Stufe (3,5,7,...) ist dies jedoch nicht der Fall; zum Beispiel hat die Gleichung
\[ x^3 = -8 \]
sehr wohl eine Lösung, nämlich \(-2\); denn
\[ (-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8 \,. \]
Daher lässt sich die 3. Wurzel aus \(-8\) ohne Probleme definieren als
\[ \sqrt[3]{-8} = -2 \,. \]
Allgemein gilt:
- Ist die Wurzel von ungerader Stufe, kann auch von negativen Zahlen die Wurzel gezogen werden, und das Ergebnis ist selbst negativ. Dies liegt daran, dass ein Minuszeichen beim Potenzieren mit einem ungeraden Exponenten erhalten bleibt. Dennoch interessiert man sich meist nur für die Wurzeln aus positiven Zahlen (diese sind natürlich selbst positiv).
- Ist die Wurzel hingegen von gerader Stufe (2,4,6,...), gilt dasselbe wie bei der Quadratwurzel: Die Wurzel einer negativen Zahl ist innerhalb der rellen Zahlen nicht definiert; denn sowohl positive wie negative Zahlen werden beim Potenzieren mit einem geraden Exponenten positiv. Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist immer eine positive Zahl, obwohl die dazugehörige negative Zahl mit dem selben Betrag eine zweite Lösung der Gleichung \(x^n=c\) darstellt.
Produkte und Quotienten
Hier gelten im Grunde die selben Regeln wie bei Quadratwurzeln; man kann sie sich auch genauso wie bei den Quadratwurzeln herleiten.
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\] |
Und für Quotienten gilt
\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \] |
Das kann man nutzen, um z.B. höhere Wurzeln aus Brüchen mit sogenannten Kubikzahlen zu berechnen:
\[\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3} \]
Summen und Differenzen
Genau wie bei Quadratwurzeln gelten diese Regeln für Summen und Differenzen nicht! Eine beliebige Wurzel einer Summe oder Differenz lässt sich nicht einfach zerlegen, denn es gilt
\[ \sqrt[n]{a \pm b} \neq \sqrt[n]{a}\pm \sqrt[n]{b}\] |
(man beachte hier wieder das Ungleichheitszeichen!).