Theorie:
Produkte
Die Wurzel eines Produkts kann man auf dessen einzelne Faktoren zurückführen, denn haben wir z.B. die Quadratwurzeln zweier Zahlen \(a\) und \(b\):
\[ x = \sqrt{a} \quad \text{und} \quad y = \sqrt{b} \,, \]
dann muss gelten, dass
\[ x^2 = a \quad \text{und}\quad y^2 =b \,. \]
Für das Produkt \(xy\) gilt dann
\[ (xy)^2 = x^2 y^2 = ab \,, \quad \text{also}\quad xy = \sqrt{ab} \,. \]
Da wir keine speziellen Zahlen \(a\) und \(b\) angenommen haben (sie dürfen nur nicht negativ sein, denn sonst existiert die Wurzel nicht), ist dies eine allgemeine Regel:
\[ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\] |
Quotienten
Für den Quotienten \(x/y\) der beiden Quadratwurzeln (wie oben) gilt:
\[ \left(\frac{x}{y}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} = \frac{a}{b} \,, \quad \text{also}\quad \frac{x}{y} = \sqrt{\frac{a}{b}} \,. \]
Die Regel für Quotienten ist daher:
\[\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \] |
Das kann man nutzen, um z.B. die Wurzel aus Brüchen mit Quadratzahlen zu berechnen:
\[\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} \]
Summen und Differenzen
Für Summen und Differenzen gelten diese Regeln aber nicht! Das heißt, die Quadratwurzel einer Summe oder Differenz lässt sich nicht einfach zerlegen, und es gilt
\[ \sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a}\pm \sqrt{b}\] |
(man beachte das Ungleichheitszeichen). Dies ist eine "beliebte" Fehlerquelle; daher sollte man sich unbedingt merken, dass die Zerlegung nur für Produkte und Quotienten funktioniert.