Theorie:
Die Wurzel von \(4\) im vorigen Beispiel war einfach zu finden, da \(4\) eine sogenannte Quadratzahl ist; das heißt, sie ist das Quadrat einer natürlichen Zahl. Die ersten Quadratzahlen sollte man aus dem kleinen Einmaleins kennen, und sie erlauben uns die Quadratwurzeln einiger Zahlen sofort anzugeben:
\( 1^2 = 1 \) | \(\sqrt{1}=1\) |
\( 2^2 = 4 \) | \(\sqrt{4}=2\) |
\( 3^2 = 9 \) | \(\sqrt{9}=3\) |
\( 4^2 = 16 \) | \(\sqrt{16}=4\) |
\( 5^2 = 25 \) | \(\sqrt{25}=5\) |
\( 6^2 = 36 \) | \(\sqrt{36}=6\) |
\( 7^2 = 49 \) | \(\sqrt{49}=7\) |
\( 8^2 = 64 \) | \(\sqrt{64}=8\) |
\( 9^2 = 81 \) | \(\sqrt{81}=9\) |
\( 10^2 = 100 \) | \(\sqrt{100}=10\) |
Irrationale Quadratwurzeln
Bei anderen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, lässt sich das Ergebnis jedoch nicht so leicht finden. Beispielsweise suchten die griechischen Mathematiker nach der Quadratwurzel von \(2\), da sie aus dem Lehrsatz des Pythagoras herleiteten, dass dies die Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 ist. Die gleiche Zahl würde man erhalten, wenn man die Seitenlänge eines Quadrats mit der Fläche von exakt \(2 m^2\) berechnen möchte.
Berechnet man die Wurzel aus \(2\) mit dem Taschenrechner, erhält man die ersten Stellen des Ergebnisses:
\[\sqrt{2} = 1,414213562\ldots \]
Wie sich herausstellt, hört die Dezimaldarstellung dieser Wurzel niemals auf, und es gibt auch keine periodische Wiederholung darin. Das liegt daran, dass \(\sqrt{2}\) nicht als Quotient oder Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann, also keine rationale Zahl ist. \(\sqrt{2}\) ist eine irrationale Zahl, wie es etwa die berühmte Kreiszahl \(\pi\) ist.
Wurzeln natürlicher Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind immer irrational.
Quadratwurzeln und negative Zahlen
In unserem Beispiel am Anfang haben wir festgestellt, dass \(2=\sqrt{4}\) ist. Die Zahl \(2\) ist aber nicht die einzige Lösung der Gleichung
\[ x^2 = 4 \,. \]
Denn auch \(-2\) würde funktionieren, da Minus mal Minus Plus ergibt:
\[ (-2)^2 = (-2)\cdot(-2) = 4 \,, \]
auch wenn ein Quadrat der Seitenlänge \(-2\) keinen Sinn ergibt. Für andere Zahlen gilt dies genauso: wenn eine positive Zahl ein bestimmtes Quadrat hat, dann ist das Quadrat der entsprechenden negativen Zahl genau gleich groß.
Die Quadratwurzel \(\sqrt{c}\) muss aber eine eindeutig bestimmte Zahl sein; daher entscheidet man sich meistens für die positive Lösung der Gleichung
\[ x^2=c \,, \]
da diese auch z.B. als Quadratseite geometrisch unmittelbar interpretiert werden kann. Man sollte sich aber bewusst sein, dass die obere Gleichung für positive Zahlen \(c\) immer zwei Lösungen hat, nämlich \(\sqrt{c}\) und \(-\sqrt{c}\):
\[ x = \pm \sqrt{c} \,. \]
Was ist aber, wenn \(c\) keine positive Zahl ist? Wenn \(c=0\), ist die Wurzel auch gleich Null, denn
\[ 0^2 = 0 \,, \quad \text{also} \quad \sqrt{0} = 0 \,,\]
und eine andere Zahl, deren Quadrat null ergibt, existiert nicht.
Ist \(c\) aber eine negative Zahl, dann hat die Gleichung
\[ x^2=c \,, \]
überhaupt keine reelle Zahl als Lösung. Denn positive Zahlen haben ohnehin positive Quadrate, aber auch negative Zahlen ergeben quadriert etwas Positives, da Minus mal Minus gleich Plus ist.
Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist daher im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Um dennoch Lösungen dafür zu haben, haben Mathematiker die sogenannten imaginären und komplexen Zahlen erfunden. Diese sind aber nicht mehr in dem Sinne Zahlen, wie wir sie uns vorstellen, und wir gehen in diesem Kapitel immer von reellen Zahlen aus.
Wir haben also drei Fälle für die Lösungen der Gleichung \(x^2 = c\):
- \(c>0\): Dann gibt es zwei Lösungen, nämlich \(x = \pm \sqrt{c}\).
- \(c=0\): Dann gibt es genau eine Lösung: \(x = 0\).
- \(c<0\): Dann gibt es keine reelle Zahl als Lösung.