Theorie:
Wenn wir Geld auf ein Sparkonto legen oder einen Kredit benötigen, kommt der Zins ins Spiel. Er ist sozusagen der Preis dafür, sein Geld eine Zeit lang anderen Menschen oder Firmen zu überlassen, und wird in Prozent des überlassenen Geldbetrages berechnet. Haben wir z.B. 1.000 Euro auf einem Sparkonto zu 3% (jährlich fälligen) Zinsen angelegt, so sollte am Ende eines Jahres der Betrag von
\[ 1000 \cdot 3\% = 1000 \cdot \frac{3}{100} = 30 \; \text{Euro} \]
an Zinsen gutgeschrieben werden. Die allgemeine Formel für den Zins \(Z\) in einem Jahr lautet daher
\[ Z_1 = K \frac{p}{100} \,, \]
wo \(K\) der entsprechende Kapitalbetrag und \(p\) der Zinssatz in Prozent (auch Zinsfuß genannt) sind.
Einfacher Zins
Bei der Berechnung von Zinsen etwa auf ein Sparkonto glauben viele Leute fälschlicherweise, dass dies in etwa wie der einfache Zins funktioniert: Der Zins für einen Kapitalbetrag \(K\) über ein Jahr zu einem Zinssatz von \(p\) Prozent wird durch die obige Formel beschrieben; folglich müssten nach \(n\) Jahren
\[ Z = K \frac{p}{100} n \,, \]
an Zinsen fällig werden, also das \(n\)-fache davon. Dies wird einfacher Zins genannt, allerdings spielt diese Art der Berechnung nur dann eine Rolle, wenn die Zinsen sofort vom Sparbuch genommen werden und somit immer dasselbe Kapital am Sparbuch liegt.
Zinseszins
In allen anderen Fällen sind die Zinsen im zweiten Jahr nicht nur auf das ursprüngliche Kapital \(K\), sondern auf das Kapital plus die Zinsen vom ersten Jahr, fällig — also auf
\[ K+Z_1 = K \left( 1 + \frac{p}{100} \right) \,. \]
Der Faktor, um den sich das Kapital in einem Jahr vermehrt
| \( q = 1 + \frac{p}{100} \) |
wird dabei Aufzinsungsfaktor \(q\) genannt.
Nach einem Jahr haben wir also ein Kapital von \(Kq\) auf dem Sparbuch, welches wiederum verzinst wird. Am Ende des zweiten Jahres sind daher
\[ Z_2 = Kq \frac{p}{100} \]
an Zinsen fällig, wodurch das Kapital auf
\[ Kq+Z_2 = Kq \left( 1 + \frac{p}{100} \right) = Kq^2 \,. \]
anwächst.
Wie wir sehen, wächst das Kapital (bei gleichbleibendem Zinssatz) jedes Jahr um den Aufzinsungsfaktor \(q = 1+\frac{p}{100}\). Dies entspricht dem Verhalten einer geometrischen Folge. Nach einer Verzinsung über \(n\) Jahre haben wir statt dem ursprünglichen Betrag \(K\) den Endbetrag
| \( E = Kq^n \) |
auf dem Sparkonto. Diese Formel gilt auch für die Entwicklung einer ursprünglichen Kreditschuld \(K\) zu einem bestimmten Prozentsatz nach \(n\) Jahren, wenn zwischenzeitlich nichts getilgt wird.
Da diese Formel \(n\) im Exponenten hat und \(q = 1+\frac{p}{100}\) immer größer als eins sein muss (sonst hätten wir negative Zinsen), haben wir ein exponentielles Wachstum des Vermögens. Gegenüber dem einfachen Zins, der nur linear wächst, macht dies nach längerer Zeit einen gewaltigen Unterschied aus.